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Olá,
n = 1(mod 8) ... n^2 = 1 (mod8) ... n^2-1 =
0(mod 8)
n = 3(mod 8) ... n^2 = 9 = 1 (mod8) ... n^2 - 1 = 0
(mod 8)
n = 5(mod 8) ... n^2 = 25 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 =
0 (mod 8)
n = 7(mod 8) ... n^2 = 49 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 =
0 (mod 8)
logo, esta provado que se para n impar, n^2 - 1 é
divisivel por 8..
uma outra demonstracao seria:
n = 2k+1 ... n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 +
k)
temos que mostrar que k^2 + k = 0
(mod2)
se k = 0 (mod2), entao: k^2 = 0(mod2) ... k^2+k =
0(mod2)
se k = 1 (mod2), entao: k^2 = 1(mod2) ... k^2+k = 2
= 0(mod2)
tambem esta provado.. outro jeito ainda seria: se k é par, k^2 é par, k^2
+ k é par, logo, é divisivel por 2...
se k é impar, k^2 é impar, k^2 + k é par (a soma de
2 impares é sempre par), logo, é divisivel por 2
[esse demonstracao eh "analoga" a
anterior]
abracos,
Salhab
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