Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> > Aí vai:
> > 
> > Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + .... n^p
> > com n,p\in N; p >= n > 0. Mostre que
> > 
> > [n/(p+1)] + 1/2 <= S/n^p < 2 .
> > 
> > Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.
> >
> 
> Compare Integral(0...1) x^p*dx com as somas de Riemann inferior e superior, usando n sub-intervalos de comprimento 1/n, 
x_k = (k-1)/n, y_k = k/n (k=1...n). Teremos:
> 
> (1+2^p+...+(n-1)^p)/n^(p+1) <= 1/(p+1) <= (1+2^p+...+n^p)/n^(p+1) 
> 
> Ou seja,  (S - n^p)/n^p = S/n^p - 1 <= n/(p+1) <= S/n^p.
> 
> Como 0 < n <= p, teremos S/n^p - 1 <= n/(p+1) < 1 ==> S/n^p < 2.
> 
> Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco, mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de n/(p
+1), que é zero.
> 

Aqui vai a outra desigualdade:

A funcao x -> x^p eh convexa se p >= 1. 
Logo, a aproximacao trapezoidal supera o valor da integral (iguala se p = 1).
Assim, Soma(k=1...n) ((k-1)/^p+k^p)/(2n^(p+1)) >= 1/(p+1) ==>
Soma(k=1...n) ((k-1)^p + k^p) = 2S - n^p >= 2n^(p+1)/(p+1) ==>
S/n^p - 1/2 >= n/(p+1) ==>
S/n^p >= n/(p+1) + 1/2.


[]s,
Claudio.
 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================