Re:[obm-l] soma da Eureka romena

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)) ==>
tan(a)*tan(b) = (tan(a)-tan(b))/tan(a-b) - 1

a = (k+1)x  e  b = kx ==>
tan((k+1)x)*tan(kx) = (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ==>
Soma(1<=k<=n-1) tan((k+1)x)*tan(kx) =
Soma(1<=k<=n-1) ( (tan((k+1)x) - tan(kx))/tan(x) - 1 ) =
(tan(nx) - tan(x))/tan(x) - (n-1)

x = pi/n ==>
Soma(1<=k<=n-1) tan(k*pi/n)*tan((k+1)*pi/n) = 
(tan(pi) - tan(pi/n))/tan(pi/n) - (n-1) = -n.

(a condicao de n ser impar eh necessaria para evitar o termo correspondente a k = n/2, o qual contem tan(pi/2))

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 19 Mar 2007 14:20:33 +0000
Assunto: [obm-l] soma da Eureka romena

> Sauda,c~oes,
> 
> Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
> Calcular
> 
> \sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
> n>=3, ímpar.
> 
> []'s
> Luis
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 
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