Olá Arkon e pessoal da lista!!!
Estou enviando os passos que segui para a solução do exercício mas não cheguei a nenhum dos resultados que você colocou. Pediria que alguém apontasse onde está o erro que cometi durante a solução. Estou enviando em anexo a representação dos vetores que utilizei para resolver o problema (espero que o desenho esteja correto).
Observando o desenho, a área do triângulo MPQ que queremos é A = 1/2.|a-b|.2.sqrt(42).sen(theta + alfa/2), utilizando a igualdade para cálculo da área do triângulo com lados |a-b| e 2.sqrt(42) que formam um ângulo de (theta + alfa/2).
Como o enunciado diz que o módulo do produto vetorial dos vetores a e b é sqrt(41) temos: |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa), onde alfa é o ângulo obtuso entre a e b. sqrt(41) = 7.3.sen(alfa) -> sen(alfa) = sqrt(41)/21.
Caso você queira uma demonstração de como o módulo do produto vetorial entre dois vetores é dado pelo produto dos módulos e do seno formado entre eles posso enviar em outra mensagem. Também posso colocar a demonstração do vetor resultado do produto vetorial entre dois vetores que é um vetor perpendicular a ambos e que suas componentes podem ser calculadas a partir do cálculo do determinante de uma matriz composta pelas componentes dos dois vetores.
Me lembro até que sempre procurei uma demonstração das relações do produto vetorial em livros de Álgebra Linear mas em todos os livros que procurei não encontrava. Fiquei tentando resolver até que encontrei uma demonstração clara utilizando sistemas lineares homogêneos para achar o determinante que fornece o vetor perpendicular e utilizando relações trigonométricas simples e produtos notáveis para encontrar a igualdade |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa) que representa a área do paralelegramo formado entre os vetores a e b. Caso alguém possa indicar o livro que contenha boas demonstrações ficaria muito grato.
Continuando o exercício:
Tendo o sen(alfa) podemos calcular o cos(alfa). cos(alfa) = sqrt(1 - (sen(alfa))^2) = sqrt(1 - 41/441) = sqrt((441-41)/441) = sqrt(400/441) = 20/21. Com o cos(alfa) calculado podemos encontrar o valor do módulo de a-b através da lei dos cosenos. |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2.|a|.|b|.cos(alfa) = 49 + 9 - 2.21.20/21 = 58 - 40 = 18 -> |a-b| = sqrt(18) = 3.sqrt(2)
Com o cos(alfa) também podemos encontrar o valor de sen(alfa/2) com a relação trigonométrica cos(alfa) = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 -> 20/21 = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 -> 2.(sen(alfa/2))^2 = 1/21 -> (sen(alfa/2))^2 = 1/42 -> sen(alfa/2) = sqrt(42)/42. Com o sen(alfa/2) calculamos cos(alfa/2) que é sqrt(1722)/42
Através da lei dos senos podemos encontrar o valor de sen(theta) com a seguinte igualdade: |a-b|/sen(alfa) = |-b|/sen(theta) -> sen(theta) = sqrt(41.2)/42. Com o sen(theta) calculamos o cos(theta) que é 29.sqrt (2)/42.
Agora podemos calcular o valor do sen(theta + alfa/2) = sen(theta).cos(alfa/2) + sen(alfa/2).cos(theta) = (sqrt(41.2)/42).(sqrt(1722)/42) + (sqrt(42)/42).(29.sqrt(2)/42) = (sqrt(2.41.2.3.7.41)/42^2) + (29.sqrt (2.21.2)/42^2) = 2.41.sqrt(21)/42^2 + 2.29.sqrt(21)/42^2 = 140.sqrt(21)/(2.21)^2 = (2.2.5.7.sqrt(21))/(2.2.3.7.3.7) = 5.sqrt(21)/63
Finalmente podemos calcular a área do triângulo MPQ. A = 1/2.3.sqrt(2).2.sqrt(42).5.sqrt(21)/63 = 5.sqrt(2.2.21.21)/21 = 5.2 = 10
Além da tentativa solução (que espero ser corrigida) encontrei essa solução nos arquivos da lista da OBM: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.1999a/msg00187.html onde a resposta encontrada é 10.sqrt(41). Onde será que errei para faltar o valor sqrt(41) multiplicando o 10???
Abraços!!!--On 2/24/07, arkon <arkon@bol.com.br> wrote:Olá, pessoal.Poderiam resolver esta, por favor.Abraços e muito obrigado.O módulo do produto vetorial dos vetores a e b, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |a| = 7 e |b| = 3.MP tem a direção da bissetriz do ângulo de a e b e |MP| = 2rq42; MQ = a – b. A área do triângulo MPQ é:
a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42. e) 2rq41rq42.
Henrique