RE: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.

["Rogério Possi Júnior" <ropossijr@xxxxxxxxxxx>]

Boa Shine!

Sds,

Rogério


>From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
>Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST)
>
>Ah, esse é um grande clássico!
>
>Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus.
>
>Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica 
>parecida, mas mais simples, que é a soma
>    1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89)
>de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de 
>frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que
>    1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1)
>
>Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = 
>-1, de modo que a soma é igual a
>    (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89
>
>Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal 
>que
>    1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1)
>
>Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos
>    1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k
>
>Parece alguma fórmula familiar? Compare com
>    sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a
>(forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k)
>
>Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é 
>difícil ver que C = -1/sen 1. Assim
>    1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1))
>e a soma pedida é
>    1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89)
>  = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + 
>(sen88/cos88 - sen89/cos89))
>  = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89)
>  = -1/sen1(0 - cos1/sen1)
>  = cos1/sen^2(1).
>
>[]'s
>Shine
>
>
>----- Original Message ----
>From: Rogério Possi Júnior <ropossijr@hotmail.com>
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM
>Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
>
>
>Caros,
>
>Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica?
>
>(USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... +
>1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1).
>
>Rogério
>
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