Re: [obm-l] Ajuda urgente

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Olá.

Essas questões de seqüência já foram bastante discutidas aqui na lista. Inclusive o Saulo botou uma resposta a uma mensagem minha em 20/04/06 se nao me engano, que transcrevo aqui:

"Realmente a resposta para cada tipo de problema depende da cabeça de
cada pessoa, se o cara ver as raizes de um polinomio em 1,2,3,4
realmente acho que o cara tem que ser matematico, abraço, saulo."

Não acho que o cara deva ser matemático para isso. Há um procedimento muito simples que acho que qualquer um, com ou sem uma visao mais matemática do negócio, pode usar para chegar a esse resultado, possivelmente sem saber que esteja fazendo isso.

Se vc pegar as diferenças entre os termos da seqüência, e as diferenças das diferenças, e etc..., ou: chegará um momento que você terá valores constante; ou: você chegará numa seqüência com só 1 elemento. Imponha que o próximo elemento dessa n-ésima seqüência de diferenças é igual ao último obtido, então vc vai voltando para achar o próximo termo de cada uma das sequencias de diferencas de ordem inferior. Assim, vc terá calculado o valor do polinomio interpolador da sequencia original no proximo ponto!

Mais matemáticamente, defina:
delta^k (n) = delta^(k-1) (n) - delta^(k-1) (n-1);
e:
delta^0 (n) = a_n

Calcule os deltas até a ordem k, na qual só exista 1 único delta^k. Coloque delta^k (2) = delta^k (1), e calcule os delta^(k-1) (n) usando a primeira das formulas de definicao recorrente do delta^k acima.

Veja esse metodo aplicado a este problema:

3 0 5 34 135 452
-3 34 101 317
37 67 216
30 149
119

Chegamos a uma linha com apenas 1 número. Imponha que o próximo é 119. Assim, o próximo da penúltima linha será 149 + 119 = 268. Agora o próximo da 3a. linha será 216 + 268 = 484, na segunda temos 317 + 484 = 801, e por fim, 452 + 801 = 1253.

Assim, se considerarmos a seq. dada como a_n = p(n), onde p é um polinômio de grau 5, então esse polinômio é único e o proximo termo da sequencia sera 1253.

Para determinar o polinomio, há 2 métodos que conheço (um deles que depois de muito tempo que eu adorava brincar com ele, e foi o que me motivou a estudar derivadas e integrais em minha 8a. serie do fundamental, depois descobri que um carinha ai chamado Newton já tinha feito algo parecido!): o de Newton e o de Lagrange. Se quiser alguma referencia no assunto, procure por "Polinomio interpolador na forma de XXX", XXX em {Newton, Lagrange}!

O legal que eu tinha descoberto aí é que as diferencas de ordem par coincidem com o valor das derivadas do polinomio interpolador da seq. de mesma ordem naquele ponto.


Vale lembrar que na verdade esse problema não faz sentido algum matematicamente. Como já disse o Arthur aqui na lista, um número finito de termos não define uma seq. Impondo que a_n = 0, para todo n >= 6, teremos uma seq assim:
(3, 0, 34, 135, 452, 0, 0, 0, 0, 0, ..., 0, ...) (que chamamos de "lista quase nula"). Essa seqüência coincide exatamente com o exposto no enunciado do problema.
Agora é só calcular a soma dos n primeiros termos:
se n <= 5, então s_n = ??? (faça as contas para cada n).
se n >= 6, então s_n = s_5.
Acabou! Mais fácil, porém mais chato.


Abraço,
Bruno

On 2/15/07, Marcus Aurélio <marcusaurelio80@globo.com> wrote:

Alguem poderia me ajudar nessa questão?

Determine o termo geral da seqüência {3, 0, 5, 34, 135, 452, ...} e calcule
em seguida a soma dos seus n primeiros termos.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0