Re: [obm-l] Etiqueta (era: Quesitos fu*******!!!)

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá Sr. Nicolau,

Bom dia!

Acredito que exista uma forma mais genérica de resolver o problema ao invés de testar valores para X e Y:

Considere o número XXYY como 1000X + 100X + 10Y + Y = 100X(10+1) + Y(10+1) = 11(100X+Y)

Como o número XXYY é um quadrado perfeito ele possui um número par para cada um de seus fatores primos, caso contrário não seria possível extrair a raíz quadrada. Por exemplo, o número 225 que é um quadrado perfeito possui 3,3,5,5 como fatores primos e SQRT(
3.3.5.5) = 3.5 = 15.

Como sabemos que XXYY é igual a 11(100X+Y) o número 100X+Y é múltiplo de 11, de modo que ele possua pelo menos 2 fatores primos 11.

Sendo 100X+Y divisível por 11 fazemos: 100X+Y = 99X+X+Y. Já que 99X é múltiplo de 11, para 100X+Y ser múltiplo de 11, X+Y tem que ser também.

Ao efetuarmos a divisão 99X+X+Y por 11 teremos 9X+1, pois X+Y só pode ser 11 já que são dígitos unitários que somados dá no máximo 18 (X+Y igual a 0 também nos fornece um múltiplo de 11 mas isso seria considerar X e Y iguais a 0 não sendo o número XXYY de 4 algarismos desejado).

Os valores de X e Y que somados dá 11 são: 2,9 | 9,2 | 3,8 | 8,3 | 4,7 | 7,4 | 5,6 | 6,5

Agora temos que 9X+1 também é um quadrado perfeito (após a divisão de XXYY por 11.11) , ou seja: k^2 = 9X+1 -- k^2-1 = 9X. O único valor de k que nos fornece um múltiplo de 9 é k = 8 (aqui temos que testar valores). Substituindo k achamos X = 7 e conseqüentemente Y = 4 (pelo conjunto de pares de valores listados acima), sendo a resposta 7744.

Abraços!

On 2/9/07, Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br> wrote:

Gostaria de pedir um pouco mais de cuidado com as palavras que são usadas,
especialmente no subject. Lembrem-se que estas mensagens ficam arquivadas
na minha home page, que o engenho de busca da PUC acessa estas mensagens,
que o nome da OBM está envolvido e que criancas fazem parte do público-alvo
da lista.

On Thu, Feb 08, 2007 at 11:57:58PM -0200, ivanzovisk wrote:
> 1- Tirar a Raiz Quadrada de XXYY (XXYY eh um numero de 4 algarismo que tem os
> dois primeiros digitos iguais e os dois ultimos digitos tambem iguais)
> sabendo que ele eh quadrado perfeito.

A resposta é 88 pois 88^2 = 7744 é a única solucão.

Este problema é um pouco trabalhoso.
Uma forma de atacar é considerar o possível valor de Y.
Por exemplo, Y não pode ser 0 pois não existe nenhum quadrado da forma XX.
Y também não pode ser 1 pois nenhum quadrado acaba em ...11
como pode ser visto facilmente via congruência módulo 4.
Continue excluindo casos assim e você acaba provando que a solucão é única.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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-- 
Henrique