Re: [obm-l] sequencias

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Soh pra complementar:
sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
Pra ver isso, faca: 
|sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|sen((x-y)/2)| <= 2*|(x-y)/2| = |x-y|.

O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente.
Por exemplo, se a_n -> a entao x_n = a_n + 2*pi*n -> infinito, mas sen(x_n) -> sen(a).

O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). 

No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia.
Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) -> 0 
(esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, .... tais que:
n_k = maior indice tal que x_n_k <= k*pi + pi/2 ==> 
x_n_k <= k*pi + pi/2 < x_(n_k + 1)  (**)
Mas (x_(n+1) - x_n) -> 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que:
lim(k -> +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
Logo, como seno eh continua:
(i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) -> sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1;
e
(ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) -> sen(2m*pi + pi/2) = 1.

Acho que eh isso.

[]s,
Claudio.



---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
Assunto: Re: [obm-l] sequencias

> Olá Artur,
> 
> sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf, 
> entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ...
> deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x) diverge 
> qdo x->inf..
> 
> bom, qquer erro, por favor, me corrija!
> 
> abraços,
> Salhab
> 
> ----- Original Message ----- 
> From: "Artur Costa Steiner" <artur.steiner@mme.gov.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
> Subject: RES: [obm-l] sequencias
> 
> 
> Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
> esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
> valida
> Artur
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Artur Costa Steiner
> Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RES: [obm-l] sequencias
> 
> 
> No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
> cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
> 
> A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
> em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
> positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
> depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
> por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
> dadas mas não converge.
> 
> Artur
> 
> 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: carlos martins martins [mailto:carlossolrac10@hotmail.com]
> Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] sequencias
> 
> 
> sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,
> 
> i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
> (x_n) é limitada.
>   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
> 
> ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
>   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
>   Mostre que 1 <= a_n <= 2.
> 
> Na primeira não tive muito progresso.
> 
> Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não
> consegui, cheguei
> a_n <= 3.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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