[obm-l] Re: [obm-l] Mostrar que a função é contínua.

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Bondade do Paulo, a demonstração dele eh muito instrutiva!
Abracos a todos
Artur

----- Original Message ----
From: Paulo Santa Rita <paulo.santarita@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, January 18, 2007 12:45:53 PM
Subject: Re: [obm-l] Mostrar que a função é contínua.


Ola Carry bit e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O nosso carissimo colega Artur ja apresentou uma demonstracao mais
bela e elegante, nomeadamente usando o fato de que se a imagem inversa
de todo aberto e aberto entao a funcao e continua. Mas nunca e demais
ver outras formas de se chegar ao mesmo resultado. Eis aqui uma outra
maneira - um tanto truculenta, é verdade ! -  usando as definicoes
tradicionais :

Admita a hipotese - f^(-1)( int(Y) )  C int( f^(-1)(Y) ) - e
suponhamos que f:M -> N nao e continua em "a" pertencente a M . Isto
significa que :

" Existe um E > 0 tal que para todo D > 0 existe um x do domino de M
de f e pertencente ao intervalo aberto (a-D,a+D) tal que f(x) nao
pertence a (f(a)-E,f(a)+E) "

Fazendo Y=(f(a)-E,f(a)+E) e claro que "a" pertence a f^(-1)(int(Y)).
Mas eu afirmo que "a" nao pertence a int(f^(-1)(Y)) ... De fato, se
"a" pertencesse a int(f^(-1)(Y)) entao haveria um intervalo aberto
(b,c) contendo "a" tal que (b,c) estaria contido em f^(-1)(Y). Ora,
tomando D=min{a-b,c-a} temos que (a-D,a+D) esta contido em (b,c) e
sabemos que existe ai algum  x do domino M de f tal que f(x) nao esta
em Y, pois f e descontinua em "a". Assim :

"a" pertence a f^(-1)(int(Y)) mas "a" nao pertence a int(f^(-1)(Y)) =>
f^(-1)(int(Y)) nao esta contido em int(f^(-1)(Y)) ... ABSURDO !

Logo, admitindo a hipotese nao pode haver ponto onde a funcao seja
descontinua, ou seja, a funcao e continua.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,2034,180107

EM TEMPO : acima admiti, sem mencionar explicitamente,  que "a" e
ponto de acumulacao de M, pois imaginei que todos sabem que toda
funcao e continua num ponto isolado

Em 17/01/07, carry bit<carry_bit@yahoo.com.br> escreveu:
> segundo um exercício: mostre que se  a imagem inversa por f, do interior de
> Y está contida no interior da imagem inversa por f de Y então a função é
> contínua.  Em notação temos
> f^(-1)( int(Y) )  C int( f^(-1)(Y) ),  onde f: M -> N com Y C N.
>
> Observo que a recíproca é verdadeira.
>
> Obrigado!
> carry_bit

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