Re: [obm-l] IMO

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Klaus,

Esses dois problemas são bons exemplos de aplicações
do Teorema Chinês dos Restos: se k >= 1 e m_1, m_2,
..., m_k são inteiros primos dois a dois (isto é, o
mdc entre quaisquer dois desses números é 1) então
existe x tal que x = a_1 (mód m_1), x = a_2 (mód m_2),
..., x = a_k (mód m_k), sendo a_1, a_2, ..., a_k
inteiros (assumo aqui que o leitor saiba o conceito de
congruência módulo m).

Para o problema da IMO 89, sendo x+1, x+2, ..., x+n os
n números, basta notar que, pelo Teorema Chinês dos
Restos, existe x tal que x = -1 (mód p_1p_2), x = -2
(mód p_3p_4), ..., x = -n (mód p_{2n-1}p_{2n}). Note
que cada um dos n números x+1, x+2, ..., x+n é
divisível por dois primos, então não pode ser primo ou
potência de primo.

Para o outro, vamos utilizar o fato de que se existe
um primo p da forma 4t+3 tal que p divide k e p^2 não
divide k então k não pode ser escrito como soma de
dois quadrados (utilize o Pequeno Teorema de Fermat
para provar isso). Sendo x+1, x+2, ..., x+n os
números, existe x tal que x+1 = p_1 (mód p_1^2), x+2 =
p_2 (mód p_2^2), ..., x+n = p_n (mód p_n^2), sendo
p_1, p_2, ..., p_n primos da forma 4t+3 (fica para o
leitor provar que existem infinitos desses primos).
Assim, cada um dos números é divisível por um primo da
forma 4t+3 mas não pelo sue quadrado, de modo que
nenhum dos n números é soma de dois quadrados.

[]'s
Shine

--- Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:

> (IMO-89)
>  Mostre que, para cada natural n, existem n inteiros
> positivos consecutivos tais
> que nenhum deles é um primo ou potência de primo.
> 
> (IMO) 
> Mostre que existem n naturais consecutivos tais que
> nenhum deles possa ser
> escrito como a soma de dois quadrados.
> 
> Grato.
> 
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