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RE: [obm-l] Chapeu do Rudin

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: RE: [obm-l] Chapeu do Rudin
From: "LEANDRO L RECOVA" <leandrorecova@xxxxxxx>
Date: Tue, 12 Dec 2006 09:53:51 -0800
In-Reply-To: <e31e241b0612111117m4ff1b398w56e79d7346b5e715@mail.gmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Paulo,

Sua resposta foi excelente.

Leandro.
Los Angeles, CA.


>From: "Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: nicolau@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Chapeu do Rudin
>Date: Mon, 11 Dec 2006 17:17:04 -0200
>
>Ola Prof Nicolau,
>
>Alguns dias atras enviei para a LISTA OBM-L uma mensagem como resposta
>a uma questao levantada pelo Niski, mas verifiquei no dia seguinte que
>ela nao havia chegado. Reenviei a mensagem. Verifiquei hoje que
>nenhuma das duas chegou.
>
>Terminei perdendo a mensagem original. Refiz a mensagem de cabeca e
>estou colando-a a seguir. Por favor, disponibiliza-a na lista OBM-L.
>
>Um Abracao !
>Feliz Natal
>Paulo Santa Rita
>2,1713,111206
>
>
>
>***
>
>
>
>Ola Niski e demais colegas
>desta lista ... OBM-L
>
>Usarei raiz_N(P) para representar a "raiz N-esima de P".
>
>O Rudin quer definir o conjunto dos numeros reais como um CORPO
>ORDENADO COMPLETO. Como os racionais ja constituem
>um CORPO ORDENADO, ele precisa mostrar que tal corpo ordenado nao e
>COMPLETO, vale dizer, que existem conjuntos
>de racionais limitados superiormente (inferiormente ) que nao admitem
>supremo ( infimo ). Para tanto ele utiliza o
>conjunto.
>
>A = { p racionais positivos tais que p^2 < 2 }
>
>Esse conjunto e claramente limitado superiormente pois se p >
>raiz_2(2) => p^2 > 2 => p nao esta em A. Logo, p esta
>em A implica p <= raiz_2(2). O proximo passo e mostrar que este
>conjunto nao tem supremo, isto e, nenhum racional
>pode ser supremo deste conjunto. Evidentemente que isto implica em
>caracterizar os numeros racionais e positivos
>X tais que q=p+X e (p+X)^2 < 2. Agora :
>
>p^2 + 2px + x^2 < 2 => x^2 + 2px + p^2 - 2 < 0     (1)
>
>Resolvendo a inequacao (1) acima e facil ver que os X's do nosso
>interesse sao tais que :
>
>0 < X < raiZ_2(2) - p  => X < (2 - p^2)/(raiz_2(2) + p )
>
>QUALQUER X racional positivo menor que  (2 - p^2)/(raiz_2(2) + p )
>serve. E o que o Rudin faz ao tomar O racional
>positivo X = (2 - p^2)/(2 + p). Dai :
>
>q = p + X = p - (p^2 - 2)/(2 + P)
>
>Evidentemente ele poderia ter  tomado, por exemplo, (2 - p^2)/(200 + p
>) ou (2 - p^2)/(e + p ) e assim
>sucessivamente. Em sintese : O poder discricionario do Rudin e
>limitado pelas solucoes positivas da inequacao
>definida em (1).
>
>Alem disso, o corte de Dedeking pressupoe a existencia de outro
>conjunto, a saber :
>
>B =  { m racionais positivos tais que 2 < m^2 }
>
>Este conjunto e claramente limitado inferiormente pois m < raiz_2(2)
>=> m^2 < 2 => m nao esta em B. Logo, m esta em
>B implica m >= raiz_2(2). O proximo passo e mostrar que ele nao e
>limitado inferiormente, isto e, nenhum racional
>pode ser infimo deste conjunto. Evidentemente que isto implica em
>caracterizar os numeros racionais e positivos
>Y tais que n=m-Y e 2 < (m-Y)^2. Agora :
>
>2 < m^2 - 2mY + Y^2  => Y^2 - 2mY + m^2 - 2 > 0      (2)
>
>Resolvendo a inequacao (2) acima e facil ver que os Y's do nosso
>interesse sao tais que :
>
>0 < Y < m - raiz_2(2) ou Y > m + raiz_2(2)
>0 < Y < ( m^2 - 2 )/(m + raiz_2(2))  ou  Y > m + raiz_2(2)
>
>E obvio ululante que qualquer X ou Y racional positivo menor que
>modulo( (m^2 - 2)/(raiz_2(2) + m ) ) serve para as
>duas inequacoes que consideramos ate aqui. Por esta razao o Rudin, em
>verdade com pouca margem de discricionariedade,
>adota o valor positivo X=Y=modulo( (s^2 - 2)/(s + 2) ). Continuando,
>seja agora "s" pertencente a A ou a B :
>
>q = s -  (s^2 - 2)/(s + 2)
>
>Se "s" esta em A, fazemos s=p. Teremos p^2 < 2 e o racional positivo X
>= (2 - p^2)/(p + 2) sera somado a 'p" fornecendo
>um q = p + X tal que q esta em A; se "s" esta em B, fazemos s=m.
>Teremos m^2 > 2 e o numero racional positivo
>Y =(m^2 - 2)/(m + 2) sera subtraido de "m" fornecendo um q = m - Y tal
>que q esta em B. Se existe algum problema aqui
>ele deriva da notacao confusa adotada pelo Rudin : mas o que e
>fundamental e que responde a sua duvida e que a
>estrategia dele (do Rudin) e facilmente justificavel.
>
>E sempre bom fazermos justica a quem merece. E portanto e em bom tempo
>que vamos exerce-la aqui e agora : o "chapeu do
>Rudin" e, em verdade, do Dedeking. Foi este matematico que atraves da
>teoria do corte  nos ensinou como tratar com
>naturalidade os irracionais, definindo-os atraves de um corte.
>Portanto, estes raciocinios do Rudin e de todos os
>autores posteriores sao inspirados diretamente ou indiretamente na
>memoria original deste matematico.
>
>Alias, a leitura do trabalho original do Dedeking e uma boa leitura
>que eu recomendo a todos
>
>Cabe tambem destacar que o Rudin so pode usar esta tecnica porque
>tratava-se da raiz QUADRADA de um numero
>natural. E ilustrativo considerar este problema em outros casos. Por
>exemplo : como aplicar o raciocinio do corte
>para definir raiz cubica de 5 ?
>
>ALEM DO RUDIN
>
>Por que devemos ficar limitados as tecnicas de exposicao desenvolvidas
>por Matematicos Estrangeiros se
>podemos nos mesmos desenvolver maneiras criativas de abordar os mesmos
>problemas ? Vou apenas comecar,
>voce completa o raciocinio.
>
>Seja A = { p racionais positivos tais que p^3 < 5 }
>
>Preciso mostrar que este conjunto nao e limitado superiormente por
>nenhum racional, vale dizer, dado "p" pertencente
>a A existe "q" tambem pertencente a A ( q^3 < 5 ) tal que p < q. Para
>isso procuro caracterizar os numeros racionais
>positivos X tais que :
>
>(p + X)^3 < 5  => X^3 + 3p(X^2) + 3X(p^2) < 5 - p^3
>
>Nao tem problema supor 0 < X < 1. Neste caso : X^3 + 3p(X^2) + 3X(p^2)
>< X + 3pX + 3(p^2)X. Assim, basta
>determinar X, 0< X < 1, tal que :
>
>X + 3pX + 3(p^2)X < 5 - p^3 => X < (5 - p^3)/(1 + 3p + 3(p^2) )    (3)
>
>Qualquer 0 < X < 1 racional positivo que atende a inequacao (3) e tal
>que (p + X)^3 < 5. Assim q=p+X e um racional
>ainda pertencente ao conjunto A ( q^3 < 5 ) e tal que p < q : A nao e
>limitado superiormente por nenhum racional,
>como queriamos demonstrar !
>
>Para finalizar verifique que X = { (5 - p^3)/[(1 + P)^3] } < {(5 -
>p^3)/(1 + 3p + 3(p^2) )} e que portanto este
>valor de X serve para a inequacao (3). Mais ainda. De forma geral,
>todo 0 < X < 1 tal que X =< (R - p^N)/[(1+p)^N]
>e tal que (p+X)^N < R, onde R e um numero real do qual queremos nos 
>aproximar !
>
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>2,0B1A,111206
>
>
>>O Rudin, no começo do livro "Principles of Mathematical Analysis" (3rd 
>>edition)
>>define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 < 2.
>>Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q
>>tal que p < q.
>>Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p > 0 o numero
>>
>>q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2)
>>
>>Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca
>>seria: "q foi tomado dessa forma pois é o que funciona".
>>
>>Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra
>apresentar esse q ?
>>
>>Um abraço a todos.
>>
>>Nisk
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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References:
- [obm-l] Chapeu do Rudin
  - From: Paulo Santa Rita
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