[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico

[João Gabriel Preturlan <jgpreturlan@xxxxxxxxxx>]

Se eu não me engano é da olimpiada peruana...

mas acontece q em demostrações parecidas com essa eu cheguei, mas nesse 
número cabeludo, não...
----- Original Message ----- 
From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, December 02, 2006 1:39 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulo Órtico


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Fri, 1 Dec 2006 18:36:49 -0200
Assunto: [obm-l] Triângulo Órtico

> Tenho quebrado minha cabeça nesse exercício a quase duas semanas e não 
> chego na demonstração completa nunca.
> (Pensei em usar vários recursos como o teorema de Ceva, calcular a área 
> por várias maneiras diferentes, mas não chego na solução)
>
> Ele diz o seguinte:
>
> Prove que:
>
> (LMN) = 4 . (ABC)^3 . (a^2 + b^2 + c^2) / 9 . a^2 . b^2 . c^2
>
> Sendo:
> - LMN o triângulo órtico do triângulo ABC.
> - As alturas se encontrem no ponto H.
> - Seja HL, HM e HN inraios.
>
> Obs.: Estou usando (LMN) e (ABC) como notações de área dos respectivos 
> triângulos.
> Estou considerando a, b e c como lados opostos aos seus respectivos 
> vértices (A, B e C)
>

L, M e N sao os pes das alturas de ABC, as quais se encontram em H.
HL, HM e HN tambem sao inraios de ABC ==> H eh incentro de ABC.
Ou seja, as alturas de ABC sao tambem bissetrizes internas.
Logo, ABC eh equilatero ==> a = b = c   e  (LMN) = (ABC)/4

(ABC) = a^2*raiz(3)/4 ==> (LMN) = a^2*raiz(3)/16

(ABC)^3 = 3*a^6*raiz(3)/64
(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) = 3a^2/(9a^6) = 1/(3a^4) ==>
4*(ABC)^3*(a^2+b^2+c^2)/(9a^2b^2c^2) =
4*(3*a^6*raiz(3)/64)*1/(3a^4) =
a^2*raiz(3)/16 = (LMN)

Esquisito esse problema...

[]s,
Claudio.



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