[obm-l] Re:[obm-l] Problema da Olimpiada Piauiense de Matemática

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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Data: Tue, 28 Nov 2006 18:26:48 -0200
Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada Piauiense de Matemática

> Prove que a³/bc + b³/ac + c³/ab >= a + b + c
>
De uma olhada no enunciado original.
Ele deve dizer que a, b e c sao positivos.
Por exemplo, se a = b = 1  e  c = -2, entao a desigualdade acima ficaria:
-1/2 - 1/2 - 8 >= 1 + 1 - 2  ou  -9 >= -1 ==> absurdo.
Tambem eh claro que abc <> 0, dado o lado esquerdo.

Suponhamos, assim, que a >= b >= c > 0.
Entao, a^3 >= b^3 >= c^3 e tambem bc <= ac <= ab.
Portanto, 1/(bc) >= 1/(ac) >= 1/(ab).
Desigualdade do rearranjo ==> 
a^3/(bc) + b^3/(ac) + c^3/(ab) >= 
a^3/(ab) + b^3/(bc) +  c^3/(ac) = a^2/b + b^2/c + c^2/a.
Pela nossa hipotese, a^2 >= b^2 >= c^2  e  1/c >= 1/b >= 1/a.
Usando rearranjo mais uma vez, obtemos, finalmente:
a^2/b + b^2/c + c^2/a >= a^2/a + b^2/b + c^2/c = a+b+c.

E pra saber que raio de desigualdade do rearranjo eh essa, de uma olhada em:
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/desigualdades.pdf

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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