[obm-l] Re:[obm-l] argumento combinatório....

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 27 Nov 2006 09:08:04 -0200
Assunto: [obm-l] argumento combinatório....

> Como mostro , POR UM ARGUMENTO COMBINATÓRIO, que binomial( binomial(n,2), 2 ) = 3.binomial( n+1 , 4 )?
> 
> 
> Valew pessoal...Cgomes
> 

Seja A = {1,2,3,...,n-1,n} ==> |A| = n.
Seja B = {X em P(A) | |X| = 2} ==> |B| = Binom(|A|,2) = Binom(n,2).
Seja C = {Y em P(B) | |Y| = 2} ==> |C| = Binom(|B|,2) = Binom(Binom(n,2),2)

Assim, os elementos de C sao da forma {S,T}, onde S e T sao subconjuntos de A com dois elementos cada.
Estes elementos sao de dois tipos:
Tipo 1: os da forma {S,T}, com S inter T = vazio.
Tipo 2: os da forma {S,T}, com |S inter T| = 1.

Por exemplo, se n >= 3, entao: 
{1,2}, {1,n} e {n-1,n} sao elementos distintos de B, e
se n >= 4, entao:
{{1,2},{3,4}} e {{1,2},{1,3}} sao elementos distintos de C, o primeiro dos quais eh de Tipo 1 e o segundo de Tipo 2.

Cada 4 elementos distintos de A formam 3 elementos de Tipo 1 de C.
Por exemplo, 1, 2, 3 e 4 formam:
{{1,2},{3,4}}, {{1,3},{2,4}} e {{1,4},{2,3}}.
Como podemos escolher 4 elementos de A de Binom(n,4) maneiras, concluimos que C tem 3*Binom(n,4) elementos de Tipo 1.

Cada 3 elementos distintos de A formam 3 elementos de Tipo 2 de C.
Por exemplo, 1, 2 e 3 formam:
{{1,2},{1,3}}, {{1,2},{2,3}} e {{1,3},{2,3}}.
Como podemos escolher 3 elementos de A de Binom(n,3) maneiras, concluimos que C tem 3*Binom(n,3) elementos de Tipo 2.

Logo, |C| = 3*Binom(n,4) + 3*Binom(n,3) = 3*Binom(n+1,4), pela relacao de Stifel.


[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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