[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para todos os a_i).

A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar que:
(p+1)(p+2)....(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões

> Olá,
> 
> sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes numeros é divisivel por m!...
> 
> como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de representantes modulo m..
> deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:
> 
> a_1 = km
> a_2 = km + 1
> a_3 = km + 2
> .
> .
> a_m = km + (m-1)
> 
> isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante.
> 
> assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
> k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
> 
> temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
> mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
> assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
> para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
> novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
> isto é, podemos reordena-los de modo que:
> b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...
> 
> seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
> 
> se tiver algo errado, aguardo correcoes
> abracos,
> Salhab
> 
> 
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: ivanzovisk 
>   To: obm-l 
>   Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM
>   Subject: [obm-l] Duas Questões
> 
> 
>   1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisivel por m!
> 
> 
> 
>   2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam 
do mesmo par? 
> 
> 



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================