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Olá,
sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o
produto destes numeros é divisivel por m!...
como esses numeros estao sequenciais, eles formam
um conjunto de representantes modulo m..
deste modo, podemos ordena-los com a seguinte
lei:
a_1 = km
a_2 = km + 1
a_3 = km + 2
.
.
a_m = km + (m-1)
isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e
assim por diante.
assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, ..,
a_m por m, temos:
k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
temos que mostrar agora que este numeros sao
divisiveis por m-1
mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para
i=2, ..., m
assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod
m-1)
para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por
diante..
novamente temos um conjuntos dos representantes
modulo m...
isto é, podemos reordena-los de modo
que:
b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem
crescente modulo m-1...
seguindo esta linha, mostramos que o numero é
divisivel por m, m-1, m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
se tiver algo errado, aguardo
correcoes
abracos,
Salhab
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