[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nivel 3) (Problema 6 Nivel U)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Mas o produtao pode ter potencias negativas de A, as quais podem levar pontos de Q1 em pontos de Q1 com norma menor.
Por exemplo A^(-1)*(5,2) = (5-2*2,5) = (1,5).

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 14 Nov 2006 13:17:22 -0200
Assunto: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nivel 3) (Problema 6 Nivel U)

> Bem, a minha solucao acho que e bem parecida, mas preciso conferir as
> contas...
> 
> Em 14/11/06, gabriel bujokas <bujokas@hotmail.com> escreveu:
> >
> > Oi Márcio,
> >
> > A solução que eu pensei pro problema 6 interpreta as matrizes A B como
> > operadoers lineares sobre os pontos do primeiro quadrante.
> > Assim, pega (x,y) no primeiro quadrante. então A*((x,y)transposto)
> > =(x',y');
> > mas (x',y') é mais longe da origem que (x,y) ( norma de A(x,y)t é maior
> > que
> > norma de (x,y)). A mesma coisa pro B.
> > Então, supõe que existe um produtão de A e B que dá I. Aí multiplica pelo
> > vetor coluna (1,1) dos dois lados, que é a mesma coisa que aplicar cada
> > lado
> > da equação como um operador sobre o ponto (1,1), e aí o lado direito
> > continua sendo o ponto (1,1), e o esquerdo vira um ponto mais longe da
> > origem que (1,1). Então absurdo!
> > Abraço,
> > Gabriel
> >
> >
> >
> > >From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
> > >Date: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
> > >
> > >Oi, Márcio:
> > >
> > >Tive uma idéia pra esse problema.
> > >
> > >Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:
> > >( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).
> > >Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y <> 0), teremos que:
> > >ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))
> > >
> > >Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então:
> > >P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n)  e  ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 <> 0) ==>
> > >ctg(t_n) = x_n/y_n =
> > >[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]
> > >(fração contínua simples finita de coeficientes inteiros)
> > >
> > >Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0).
> > >
> > >Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1<=i<=n), tivermos P = I,
> > >então a função F:R-{0} -> R dada por:
> > >F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será
> > >igual a identidade, ou seja:
> > >[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para
> > >todo x em R - {0}.
> > >
> > >No entanto, quando x -> +inf  e  x -> -inf, F(x) tende ao mesmo valor,
> > dado
> > >por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1] ==>
> > >contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) -> +inf e -inf,
> > >respectivamente.
> > >
> > >Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.
> > >
> > >Você vê algum furo?
> > >
> > >[]s,
> > >Claudio.
> > >
> > >De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > >
> > >Para:"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br
> > >
> > >Cópia:
> > >
> > >Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200
> > >
> > >Assunto:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
> > >
> > >   Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as
> > >soluções da OBM 2006.
> > >   Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3.
> > >   Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com
> > >diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa
> > >questão.
> > >   Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo
> > >fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de
> > >arranjarmos tempo).
> > >   Abraços,
> > >   Marcio Cohen
> >
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