[obm-l] Re: [obm-l] Não-Enumerável, Medida Nula, Denso e Magro

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Um outro exemplo e o seguinte (do livro "Counterexamples in Analysis")
Para cada n em N, seja K(n) o conjunto de Cantor de medida (n-1)/n.
Seja K = Uniao(n em N) K(n).
Como cada K(n) e magro, K eh magro.
No entanto, 1 >= m(K) >= sup(n em N) {m(K(n))} = 1 ==> m(K) = 1 ==>
K e magro com medida total e [0,1]-K e denso em [0,1] com medida zero.
Construindo um tal K para cada intervalo [m,m+1] (m em Z) e unindo todos eles, obtemos o exemplo desejado.

Problemas:
O conjunto de Cantor tradicional eh obtido iterativamente, a partir de [0,1], pela retirada do terco medio aberto de cada intervalo 
restante apos a iteracao anterior. Assim, a primeira iteracao retira (1/3,2/3), a segunda, (1/9,2/9) e (7/9,8/9), etc...

1. Prove que se ao inves de retirar de cada intervalo I o seu terco medio, retiramos um intervalo de medida k*m(I) (0<k<1), o 
conjunto de Cantor resultante ainda tera medida zero.

2. Como entao obter um conjunto de Cantor com medida m  (0 < m < 1)?

3. Prove que o conjunto de Cantor obtido em (2) ainda tera interior vazio.

***

Sobre o que esse assunto faz nessa lista, eu tenho algumas justificativas:
1. Como agora temos olimpiadas universitarias, analise e topologia passaram a ser assuntos olimpicos;
2. Alguns resultados sobre aproximacoes diofantinas e, em particular, o teorema de Liouville que prova que os numeros algebricos 
sao diofantinos e, de quebra, ainda constroi um exemplo de numero transcendente, sao suficientemente elementares para servir 
de topico de discussao na lista;
3. Esses temas me parecem muito mais interessantes do que os probleminhas de concursos que costumam aparecer. Ou voce 
prefere uma boa discussao sobre o porque de 0,9999... , 0! e (-1)*(-1) serem iguais a 1?
 
[]s,
Claudio.


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 8 Nov 2006 10:41:50 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Não-Enumerável, Medida Nula, Denso e Magro

> On Tue, Nov 07, 2006 at 06:15:19PM -0200, Manuel Garcia wrote:
> > Boa tarde,
> > 
> >  Apesar de não entender muito bem o que este assunto faz nesta lista, como
> > parece que isto não incomoda muito, atrevo-me dar mais uma colherada no 
> > tema
> > que talvez sirva de fonte para disperdício de tempo para os incautos
> > simpatizantes...
> > 
> > Dar um exemplo de subconjuntos de R, A e B tais que:
> > 
> > - A e B são disjuntos (intersecção vazia).
> > 
> > - A U B = R
> > 
> > - A é MAGRO.
> > 
> > - B tem medida de Lebesgue ZERO.
> > 
> > Não se trata de uma pergunta sobre a existência ou não de um par de
> > subconjuntos de R com essas propriedades, é verdade que EXISTEM essses
> > subconjuntos, trata-se de encontrar uma dessas aberrações!
> 
> Existe um exemplo tão importante que não pode ser chamado de "aberração".
> Tome A' o conjunto dos irracionais diofantinos e B' o conjunto dos
> irracionais de Liouville: jogando os racionais arbitrariamente em A' ou B'
> obtemos o exemplo que você pede.
> 
> Definição:
> Um irracional x é de Liouville se para todo natural n existirem
> inteiros p e q tais que |x - p/q| < q^(-n). Caso contrário,
> x é dito diofantino.
> 
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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