Re: [obm-l] Função Logarítmica?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 02, 2006 at 10:40:15PM -0300, J. Renan wrote:
> Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = 
> f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto?

Da forma como está enunciado, não, não está correto.

Seja f: (0,+infinito) -> R. Seja g: R -> R, g(x) = f(exp(x)).
Claramente as seguintes condições são equivalentes:

(a) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y positivos;

(b) g(x+y) = g(x) + g(y) para quaisquer reais x, y.

Note que (a) implica em f(1) = 0, f(1/x) = -f(x) assim como
(b) implica em g(0) = 0, g(-x) = -g(x). Também é verdade que
(a) implica f(x^r) = r f(x) e (b) implica g(rx) = r g(x) 
para r racional.

As funções g(x) = cx obviamente satisfazem a condição (b).
Elas são as únicas funções contínuas ou até as únicas funções mensuráveis
que satisfazem a condição mas existem outras funções g que satisfazem (b)
e que são descontínuas em todo ponto. Inclusive funções g assim que são
bijetoras, existem outras que são injetoras mas não sobrejetoras
e ainda outras que são sobrejetoras mas não injetoras.

Para quem já estudou álgebra linear, R é um espaço vetorial de dimensão
infinita sobre o corpo Q dos racionais. A condição (b) diz que g é Q-linear,
ou seja, é uma transformação linear de R em R se esquecemos o resto da
estrutura de R e pensamos em R apenas como espaço vetorial sobre Q.
Sabemos que todo espaço vetorial tem base: seja (v_i), i em I, uma base
de R como Q-espaço vetorial onde I é um conjunto infinito de índices.
Assim, podemos definir cada g(v_i) arbitrariamente e estender por linearidade.

Tudo isso depende do axioma da escolha e não acredito que seja possível
exibir tais funções g, nem provar a existência delas sem o axioma da escolha.

Este assunto está discutida em detalhes em "A primer of real functions"
de Ralph P. Boas, Jr., publicado pela MAA.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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