Olá novamente,
já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber
que a funcao é o log, ok?
por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... *
xn) = Soma(i=1 até n) f(xi)
f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 *
x3 * x4 * x5)
eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ...
logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 *
q^10
assim: f[(x1)^5 * q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10)
= 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1)
logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) =
f(x1/x5) = f(1/q^4)
mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y
= 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x)
logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q)
assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] ....
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
assim, temos um sistema:
3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
resolvendo, temos: [ 4 * 3 + 10 * 2
] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) ..
assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) /
2
logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2)
como f é injetiva, temos:
x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2
tenho certeza que errei alguma
conta...
po.. ultimamente tenho feito bastante
isso...
mas acho que deu pra entender a
ideia..
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40
PM
Subject: [obm-l] Função
Logarítmica?
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes
questões:
1
seja a função f uma função injetora, com domínio
em reais positivos e controdominio os reais, tal que
f(1) = 0
f(xy)
= f(x) + f(y) (x>0 y>0)
Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos
positivos)
e sabendo que
Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) +
2f(x1) e
Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1
é
a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
Certa vez
me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a
função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver
essa
2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)
Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema
log[2][X+Y] -
log[3][X-2Y] = 2
X² - 4Y² = 4
Então Xo + Yo vale
a)
7/4
b) 9/4
c) 11/4
d) 13/4
e) 17/4
A segunda questão
consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método
muito confiável =)
Sugestões? Qualquer ajuda é bem
vinda.
A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!
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Abraços,
Jonas Renan