Olá,
a raiz dupla tambem eh raiz da derivada do
polinomio, entao:
x^2 + 6x - 2 = 0 .... raizes: [ -6 +- raiz(36 + 8)
] / 2 = [ -6 +- 2sqrt(11) ] / 2 = -3 +- sqrt(11)
bom, 3 < sqrt(11) < 4 ... logo, a raiz
sqrt(11) - 3 está em ]0, 1[...
substituindo no polinomio original,
temos:
[ 11sqrt(11) + 3*9*sqrt(11) - 3*3*11 - 27 ] +
3 [11 - 6sqrt(11) + 9] - 2 [sqrt(11) - 3] + d = 0
18sqrt(11) - 60 + d = 0
d = 60 - 18sqrt(11)
da uma conferida nas contas, já que nao bateu com
sua resposta...
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Friday, October 27, 2006 11:13
PM
Subject: [obm-l] Raízes duplas em
intervalos
Olá amigos da lista,
Queria pedir ajuda na seguinte
questão:
Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma
constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no
intervalo ]0,1[ ?
Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema
de Bolzano que seja mais inteligente que a solução
abaixo?
Resolução
x^3 + 3x^2 -2x +d =
(x-a)^2(x-b)
Onde a e b são as raízes
x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 -
(b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b
Isso resulta em
b+2a = -3 -> b
= -3 - 2a (I)
2ab+a^2 =
-2
(II)
d = -
a^2b
(III)
Substituindo b (I) em (II)
2a(-3-2a) + a^2 =
-2
para a pertencente a ]0,1[
a = (SQRT(15)-3)/3
b = (-3
-2*sqrt(15))/3
e d = - a^2b
logo d =
(2(5*SQRT(15)-18))/9
Agradeço
antecipadamente pela ajuda.
J.Renan
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27/10/2006