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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra

De fato, a solucao do Buffara foi bem melhor.
Eu tinha ido direto na indução pois o Ramon tinha tido problemas com a indução.

Acho que resolvi os outros dois problemas:

e = (n+1) * (n+2) * ...  * (n+n)
e = 1 * 2 * ... * n * (n+1) * (n+2) * ...  * (n+n) / [ 1 * 2 * ... * n ]
e = (2n)! / n!


O outro problema eu provavelmente não resolvi do jeito mais rápido:
f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2

Usando a soma de PA, temos:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = (2n-1+1)*n/2 = n^2

Entao:
f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2
f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + [(-1)^(n-1)] * (1 + 3 + ... + (2n-1))

Agora vamos nos focar nos casos em que n é par, i.e ., n = 2k:
f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + (1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))
Agrupando os pares de termos:
f(n) = [1 - (1 + 3)] + [(1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7)] + ... + [(1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))]
f(n) = -3 + -7 -11 - ... - (4k-1) = - [(3 + 4k-1)*k/2] = - (2k + 1)*k
Voltando para n:
f(n) = -(n+1)*n/2, para n par.

Se n for ímpar teremos:
f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (n-2)^2 - (n-1)^2 + n^2
f(n) = f(n-1) + n^2
Sendo que n-1 é par, assim, já sabemos calcular f(n-1):
f(n) = -((n-1)+1)*(n-1)/2 + n^2
f(n) = -(n^2 - n)/2 + n^2
f(n) = (n+1)*n/2, para n impar.

Ou seja:

f(n) = (-1)^(n+1) * (n+1) * n/2

Se você está querendo treinar indução, recomendo que tente provar diretamente esse resultado usando indução.



On 10/26/06, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
Ou então, você repara que:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n =
  
1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ...  + 1/(2n-1) + 1/(2n)
      -1             -1/2          -1/3           - 1/4    ...                   -  1/n  =
  
(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) =
 
 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n).
 
(espero que o espaçamento tenha saído OK...)
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 26 Oct 2006 10:23:41 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
> Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes
> você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por
> isso. Ou então eu errei!
>
>
> Para facilitar, seja:
> S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n
> H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n
> Observe que:
> H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) +
> 1/(2n+1) + 1/2(n+1)
> ou seja:
> H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)
>
> Queremos mostrar que S(n) = H(n).
>
> Base da indução (n=1):
> S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1)
> ok.
>
> Passo da indução:
> Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1).
>
> S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1):
> S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
> S(n+1) = H(n+1)
>
>
> On 10/26/06, Ramon Carvalho wrote:
> >
> >
> >
> > From: Ramon Carvalho
> > Date: 24/10/2006 19:57
> > Subject: Dúvidas em Álgebra
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> >
> > 1) Provar que a igualdade é verdadeira:
> >
> > 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n
> >
> > eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em
> > canto nenhum
> >
> > 2) Achar o valor das expressões abaixo
> > e = ( n+1 )(n+2)...(n+n)
> >
> > f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2
> >
> > Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos
> > para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica
> > fácil ver um certo padrão entre os termos.
> >
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>