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[obm-l] Re: [obm-l] Métrica que induz a topologia discreta

Acabei de mandar uma msg com exatamente a mesma solução abaixo.
Desculpem a redundância...
 
A vantagem é que essa solução não faz qualquer hípótese sobre a cardinalidade do conjunto dos r_x, que foi justamente o problema da solução do Artur.
 
Certamente se card(X) > card(R) (por exemplo, se X for o conjunto das partes de R), então não existirá nenhuma bijeção entre X e o conjunto dos r_x.
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sun, 22 Oct 2006 09:52:04 +0200
Assunto: Re: [obm-l] Métrica que induz a topologia discreta
> Oi, Artur.
>
> A idéia da demonstração é a boa. Eu vejo um jeito de desfazer o
> problema de achar os {r_x} não-enumeráveis da seguinte forma:
> considere a função r : X -> R que você definiu como os r_x, e tome X_n
> = r^(-1) ( (1/n, +\inf) ). Pelo seu argumento (a construção dos r_x),
> temos claramente que X = Uniao X_n, e pela reunião enumerável, temos
> que existe um dos X_n que é não-enumerável, e esse será o teu A.
>
> Por outro lado, ainda não tenho idéia de um método para fazer os teus
> r_x serem em quantidade não-enumerável. Possivelmente isso deva
> incluir um axioma da escolha e associar a classes distintas de
> irracionais (com relação a Q) uma quantidade nao-enumerável dos teus
> r_x : você sabe que eles podem ser diminuídos, então pegue um r'_x que
> seja menor do que r_x e pertença à classe irracional C(x) onde C é uma
> aplicação de X nas classes de R/Q. Isso é uma idéia, tem muitos
> detalhes aí que eu ainda não sei justificar direito (por exemplo, o
> fato de a função C(x) ser "suficientemente diferente em X" para
> podermos usar C^(-1) e obter uma infinidade não-enumerável de x \in X.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On 10/20/06, Artur Costa Steiner wrote:
> >
> >
> > Gostaria de comentários a respeito da demonstração apresentada a seguir:
> >
> > Afirmação:
> >
> > Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma métrica definida em X que
> > induza a topologia discreta. (A topologia discreta é aquela em que conjuntos
> > formados por um único elementos são abertos, o que equivale a dizer que
> > nenhum elemento de X é ponto de acumulação de X - daí o nome discreta).
> > Então, para algum eps>0, existe um subconjunto não enumerável A tal que
> > d(x1,x2) >= eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso
> > trivial é quando d é a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se
> > x1<>x2, e d(x1,x2) =0, se x1= x2. A métrica citada no enunciado não tem que
> > ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse, nada teríamos a
> > demonstrar.)
> >
> > Demonstração.
> >
> > Como o conjunto {x} é aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe
> > r_x >0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x
> > e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que
> > Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto não-enumerável {r_x} e é
> > dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao é possível que todos os
> > A_n contenham uma quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x}
> > seria enumerável). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel.
> > Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m},
> > então d(x1, x2) >= 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é
> > enumerável pois é equivalente ao naoo enumerável A_m inter {r_x}.
> >
> > Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual
> > seja, o de que {r_x} não é enumerável. Na realidade, a cada x podemos
> > associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b
> > finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um
> > conjunto de raios r_x? Estou na dúvida.
> >
> > Abraços
> > Artur
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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