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[obm-l] RES: [obm-l] Problemas de Cálculo

1) )O  conjunto {z1 , z2} eh finito e todo subconjunto finito de R^2 eh fechado (basta ver que subconjuntos finitos de R^2 não tem pontos de acumulacao). Unioes finitas de conjuntos fechados sao fechadas. Logo F U {z1, z2} eh fechado
 
2) Fiquei com duvidas. Quem eh exatamente o conjunto I? Um intervalo de R? Vc quis dizer Limf(x,y) quando (x,y) -> (x0, y0) existe, certo? Esclareca melhor.  
 
3) Seja eps>0. Facamos d = eps. Para todos (x,y) em R^2 tais que ||(x,y||, < d temos |x| < d| e |y| <d. Logo, para todos (x,y) de R^2 tais que  ||(x,y|| < d, temos:
 
 Se y <>0, entao |f(x,y)| = |x| |sen(1/y| < d * 1 = d = eps
 Se y =0, entao |f(x,y|| = 0 < eps.
 
Assim, para todo eps >0 existe d >0 tal ||f(x,y|| < eps para todo (x,y) de R^2 tal que ||(x,y)|| < d. Provamos nao apenas o pedido mas, ainda, que f eh continua em (0,0), visto que f(0,0) = 0
 
Para x fixo, temos f(x,y) = x * sen (1/y), se y<>0. sen(1/y) fica oscilando entre -1 e 1 e nao tende a nada quando y-> 0. Assim, se x<>0, nao existe lim f(x,y) quando y-> 0. Mas se x=0, entao f(x,y) = f(0,y) = 0 para todo y. Nesta caso, o limite existe e eh nulo.
 
As outras vemos em outra hora.
Artur    
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno Carvalho
Enviada em: quarta-feira, 25 de outubro de 2006 09:48
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problemas de Cálculo

Pessoal, bom dia !
 
Peço ajuda para resolver os seguintes problemas
 
a) Se F é um conjunto fechado em R^2 e z1 e z2 são elementos de R^2-F então FU {z1,z2} é fechado em R^2.
 
b)Considere as funções f:R^2->R , g:I ->R^2 e h:I->R^2 sendo g e h contínuas e injetoras.Se to pertence a I, g(to) =h(to)=(xo,yo e Lim f(g(t))=Limf(h(t)) quando  t->to então Lim(x,y) quando (x,y)->(xo,yo) existe.
 
c)Seja f:R^2->R, definida por f(x,y)=x*sen(1/y) se x for diferente de zero e
 f(x,0)=0.Temos que Limf(x,y)=0 quando (x,y)->(0,0) mas Limf(x,y) quando
y->0 não existe.
 
d)As superfícies de nível da função f(x,y,z)=x^2+y^2 são cilindros e o eixo z.
 
e) As curvas de nível da função f(x,y)=arctg(x,y) são hipérboles e os eixos 
x e y
 
f) Se f:R->R^2 é contínua em (0,0) então Df/Dx(0,0) existe.
 
g) Se f:R-R^2 é tal que Df/Dx(0,0) existe então f é contínua em (0,0).
 
h) Se u=( raiz de 3/2 ,1/2) e f:R->R^2 é definida por f(x,y)= x^3/(x^2+y^2), se
(x,y) diferente de (0,0) e f(0,0)=(0,0) então Df/Du.(0,0)=3*raiz de 3.
 
Desde já agradeço qualquer orientação.
 
Mais uma vez, obrigado.
 
Bruno 

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