Re: Re:[obm-l] putnam 2002

[Saulo <sjdmc@xxxxxxxxx>]

Boa solção Cláudio, eu encotrei o valor então de P_n(n)quando n = 1 por  
isso encontrei P_1(1) = - k visto q não expandi ela em parciais complexas  
meu cálculo então foi meio q cru .
Já vi aqui. Obrigado.
> Expanda em fracoes parciais complexas:
> f(x) = 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))
> (w = cis(2pi/k))
>
> A n-esima derivada eh:
> f^(n)(x) = (-1)^n*n!*(A(0)/(x-1)^(n+1) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1))^(n+1))
> Agora, se a eh uma das raizes de x^k-1 e se q_a(x) = (x^k-1)/(x-a),  
> entao:
> q_a(x) eh um polinomio de grau k-1 tal que:
> se a = 1, q_a(1) = q_1(1) = k;
> se a <> 1, q_a(1) = 0.
>
> p(x) = (x^k-1)^(n+1)*f^(n)(x) =
> (-1)^n*n!*(A(0)*q_1(x)^(n+1) + A(1)*q_w(x)^(n+1) + ...  
> + A(k-1)*q_w^(k-1)(x)^(n+1))
>
> Logo, p(1) = (-1)^n*n!*A(0)*k^(n+1)
>
> Resta calcular A(0).
> 1/(x^k-1) = A(0)/(x-1) + A(1)/(x-w) + ... + A(k-1)/(x-w^(k-1)) ==>
> (x-1)/(x^k-1) = A(0) + A(1)*(x-1)/(x-w) + ... + A(k-1)*(x-1)/(x-w^(k-1))
> Tomando limites quando x -> 1 em ambos os membros, obtemos:
> 1/k = A(0) + 0 ==> A(0) = 1/k
> Assim, finalmente, achamos p(1) = (-1)^n*n!*k^n.
>
> []s,
> Claudio.
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Thu, 19 Oct 2006 12:00:48 +0100
> Assunto: [obm-l] putnam 2002
>
>> Alguem poderia me ajudar com a questão abaixo,
>> ela não parece difícil, acho que não estou manipulando as coisas como
>> deveriam ser para isolar o que preciso,
>> abraços,
>>
>> Jhonata
>>
>>
>>
>> k and n are positive integers. Let f(x) = 1/(xk - 1). Let p(x) = (xk -  
>> 1)n+1f
>> n(x), where fn is the nth derivative. Find p(1)
>>
>>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>



-- 
Usando o revolucionário cliente de correio do Opera:  
http://www.opera.com/mail/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================