RE: [obm-l] geometria...

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Seja P um pto fixo,O o centro de um circulo e AB uma corda variavel paralela
 '>'a OP. mostre q a soma PA^2 + PB^2  é cte.

Olá! Trazendo esse problema para o plano complexo, e supondo que O é a origem,
P está no eixo real e a circunferência tem raio r, seja P = x real e A =
r*e^(ia), B = r*e^(ib). Como AB é paralelo ao eixo real, temos que sen a
= sen b, de maneira que a = pi/2 + s, b = pi/2 - s, e segue que A = r*i*z,
B = r*i*z', onde z = e^(is) e z' = e^(-is) é o conjugado de z. Como simplificação
final, pondo r*i*z = w, temos que A = w e B = -w', com |w| = r. 

PA^2 + PB^2 = |w - x|^2 + |-w' - x|^2 = |w - x|^2 + |w' + x|^2 = 2*r^2 +
2*x^2 - w*x' - w'*x + w'*x + w*x' = 2*r^2 + 2*x^2 + x*(w + w' - w - w') =
2*r^2 + 2*x^2 = constante. (Repare que x' = x)

[]s,
Daniel



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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