[obm-l] Convergência de sequencias de integrais

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Coloquei este problema há umas 2 semanas. Pensei mais e cheguei a uma prova
a qual gostaria que alguem que conheca um pouco deste assunto comente.
Acredito (mas não juro) que esteja correta.
Teorema:
Sejam (X,M,m) um espaço de medidas - X um conjunto, M uma sigma-álgebra
definida em X e m uma medida definida em M - e (f_n: X_-> [0, oo] ) uma
seqüência de funções que converge em X para uma função f. Se lim Int f_n dm
= Int f dm < oo, então, para todo subconjunto mensurável E de X, temos que
lim Int_E f_n dm = Int_E f dm. Esta conclusão pode, entretanto, falhar se
lim Int f_n dm = Int f dm = oo
Demonstração (caso :lim Int f_n dm = Int f dm < oo. Pela convenção usual,
quando o conjunto sobre o qual a integral é feita for omitido, subentende-se
que eh o espaco X)
Como as funcoes f_n nao assumem valores negativos, segue-se do Lema de Fatou
que, para todo E de M, temos que Int_E (liminf f_n) dm = Int_E (lim f_n) dm
= Int_E f dm <= liminf Int_E f_n dm. (1). 
Suponhamos que, para algum conjunto mensurável E, a igualdade lim Int_E f_n
dm = Int_E f dm não se verifique. Vamos inicialmente mostrar que, neste
caso, f_n contém uma subseqüência (f_n_k) tal que lim Int_E f_n_k dm < Int_E
f dm (2) 
De fato, se (Int_E f_n dm) convergir, então (1) nos mostra que Int_E f dm <
lim Int_E f_n dm, de modo que a própria (f_n) é a subsequência procurada. Se
(Int_E f_n dm) não convergir, então, considerando (1), temos que Int_E f dm
<= liminf Int_E f_n dm < limsup Int_E f_n dm. Como (Int_E f_n dm) contem uma
subseqüência que converge para o seu limsup, segue-se que (f_n) contém uma
subseqüência (f_n_k) tal que Int_E f dm < limsup Int_E f_n dm = lim Int_E
f_n_k dm, completando a prova da afirmacao.
Sendo E' = X - E o complementar de E, temos que E' é mensurável e que, para
todo k=1,2,3.... , Int_E' f_n_k dm = Int f_n_k dm - Int_E f_n_k dm. Por ser
subseqüência de (f_n), (f_n_k) converge em X para f e (Int f_n_k dm) é
subseqüência de (Int f_n dm), o que implica que lim Int_f_n_k dm = lim Int
f_n dm = Int f dm. Logo, concluímos que lim Int_E' f_n_k dm = lim Int f_n_k
dm - lim Int_E f_n_k dm = Int f dm - lim Int_E f_n_k dm. Em virtude de (2),
segue-se então que lim Int_E' f_n_k dm < Int f dm - Int_E f dm = Int_E' f dm
=> lim Int_E' f_n_k dm < Int_E' f dm. Mas como f_n_k -> f, esta última
desigualdade contraria o lema de Fatou, mostrando que a hipótese de que a
igualdade lim Int_E f_n dm = Int_E f dm não se verifique leva a contradição.
Com isto, o teorema fica demonstrado.
Nesta demosntracao, de fato usamos diversas vezes a finitude das integrais
envolvidas. Se esta hipótese for retirada, então várias das mudancas de
membro das desigualdades deixam de valer e a prova dada nao mais se aplica.
Mas ainda não consegui dar um exemplo de que este teorema pode mesmo  falhar
se lim Int f_n dm = Int f dm = oo. Ttalvez haja algum fácil, mas ainda não
vi.
Agradeco qualquer comentario.
Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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