[obm-l] Posto-Linha = Posto-Coluna

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tem um teorema que diz que, dada uma matriz qualquer A mxn sobre um corpo K, posto-linha(A) = posto-coluna(A), ou seja, a dimensão do subespaço de K^n gerado pelas m linhas de A é igual à dimensão do subespaço de K^m gerado pelas n colunas de A.

 

Este teorema sempre me intrigou pois, como alguém já disse aqui na lista, uma matriz nada mais é do que uma tabela de números. Além do mais, ele vale mesmo quando m <> n, ou seja, mesmo quando estamos lidando com subespaços de espaços vetoriais não-isomorfos (espaços vetoriais sobre um mesmo corpo são isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão).

 

Outra maneira de enunciar o teorema é: o espaço das linhas de A é isomorfo ao espaço das colunas de A (apesar do primeiro ser um subespaço de K^n e o segundo de K^m, os quais não são isomorfos se m <> n).

 

Uma demonstração que me agradou usa os seguintes fatos básicos (e facilmente verificáveis) sobre o produto de matrizes:

Se B é uma matriz mxp e C é uma matriz pxn, então A = B*C é uma matriz mxn e:

1) (i-ésima linha de A) = (i-ésima linha de B)*C   (* = produto matricial);

2) (j-ésima coluna de A) = B*(j-ésima coluna de C)

 

Repare que em (1), as ordens são: (1xn) = (1xp)*(pxn)

Em (2): (mx1) = (mxp)*(px1).

Logo, os produtos estão bem definidos.

Aliás, (2) deve ser familiar a qualquer um que já tenha escrito um sistema de equações lineares na forma de uma equação matricial (onde B = matriz dos coeficientes e (j-ésima coluna de C) = vetor-coluna das incógnitas)

 

Enfim, chega de papo furado e vamos à demonstração:

 

Suponhamos que posto-coluna(A) = p.

 

Seja B uma matriz mxp cujas p colunas são uma base do subespaço de K^m gerado pelas colunas de A.

Isso quer dizer que, para 1 <= j <= n, a j-ésima coluna de A é uma combinação linear das p colunas de B.

 

Seja C a matriz pxn cujo elemento c_i,j é igual ao coeficiente da i-ésima coluna de B na combinação linear que é igual à j-ésima coluna de A.

Em outras palavras (usando (2) acima), A = B*C.

 

Em seguida (e essa é a sacada da demonstração), troque de perspectiva e, usando (1) acima, interprete a equação A = B*C como sendo a expressão de cada uma das m linhas de A como combinação linear das p linhas de C (a matriz dos coeficientes agora é B).

 

Isso significa que as p linhas de C geram o subespaço de K^n gerado pelas m linhas de A. Ou seja:

posto-linha(A) = dimensão desse subespaço <= p = posto-coluna(A).

 

Finalmente, aplicando o resultado acima a A^t = transposta de A, obtemos a desigualdade oposta:

posto-coluna(A) = posto-linha(A^t) <= posto-coluna(A^t) = posto-linha(A).

 

Em outras palavras, posto-linha(A) = posto-coluna(A).

 

[]s,

Claudio.