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RES: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Acho
que o erro no enunciado eh que a transfomração é de P2 em P2 (o espaço dos
polinômios de grau menor ou igual a 2). Aí pode-se definir
T(ax^2+bx+c)=ax^2+cx+b, que é de fato uma transfomração
linear.
Um
autovetor será um polinômio (não-nulo) que satisfaça ax^2+cx+b=k(ax^2+bx+c)
(como igualdade de polinômios, uma identidade em x). Ou seja, a=ka, c=kb e
b=kc. Resolvendo, temos:
i) Se
k=1, então qualquer polinômio onde b=c vale. Assim, temos o autovalor 1 e os
autovetores da forma ax^2+bx+b (um espaço bidimensional de autovetores, com uma
possível base dada por {x^2,x+1}).
ii) Se
k=-1, devemos ter a=0 e b=-c, que servem. Assim, temos o autovalor -1 e os
autovetores da forma bx-b (espaço de dimensão 1 gerado pelo autovetor
{x-1}).
iii) E
é só isso. Como c=kb=k^2c, se k não for nem 1 nem -1, teríamos c=0, então b=0.
Como k<>1, a=0 também. Isto seria o polinômio nulo, que não
presta.
Resposta: Autovalores 1 e -1. Os autovetores associados ao 1 estão
no autoespaço gerado por {x^2,x+1}; os associados ao -1 são os múltiplos de
{x-1}.
Abraço,
Ralph
Quais os autovalores e
autovetores de uma T:R² -> R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b
?
Muito obrigado.