Re: [obm-l] Como se resolve limite?

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Tentando esclarecer isso aqui um pouquinho. De modo um
tanto informal, consideremos uma funcao definida em um
subconjunto dominio D dos reais e com valores tambem
nos reais. Seja a um ponto de acumulacao de D, isto eh
um ponto que pode ou nao pertencer a D e que apresenta
a prppriedade de que qualquer intervalo aberto
contendo a, por menor que seja seu comprimento, contem
um elemento de D distinto do proprio a. Informalmente
falado, eh um ponto "colado" no conjunto.

Dizemos que f apresenta limite L em a se,
atribuindo-se a x valores suficientemente proximos de
a, conseguirmos fazer com que a imagem f(x) esteja tao
proxima de L quanto quisermos. Podemos pensar no
processo de limite como um jogo: 

Vc defende a tese de que lim (x -> a) f(x) = L. Seu
adversario quer derrubar esta tese. Em cada lance ele 
apresentar um valor positivo de epsilon, aquela letra
grega tradicionalmente usada nos processos de limite
(epsilon nada tem de cabalistico, designa simplesmente
um numero positivo. O fato de se usar epsilon eh
porque Lebinitz assim fez seculos atras e a moda
pegou). Vc, em contra partida, deve apresentar um
valor de delta (outra letra grega que pareceu
simpatica a Leibinitz e que tambem resistiu aos
seculos) tal que, se a sua variavel x for diferente de
a e satisfizer a |x - a| < delta, entao a imagem da
funcao f(x) devera satisfazer a |f(x) - L| < epsilon.
Se em algum lance vc nao conseguir apresentar o
adequado valor de delta, entao vc perdeu. E para vc
ganhar, eh necessario que vc consiga encontra um
adequado valor de delta qualquer que seja o epsilon
dado pelo seu adversario. 

Aparentemente eh um jogo injusto para vc, mas se for
realmente verdade que lim (x ->a) f(x) = L, entao seu
adversario pode passar a eternidade produzindo
epsilons que vc sempre tera um adequado valor para
delta. O unico problema eh que vc nmao vivera o
suficiente para usufuir o premio.

Vejamos um exemplo bem simples, o da funcao f(x) = x.
Eu afirmo que lim (x -> 0) f(x) = 0. Verificamos 
facialmente que, para que |f(x) - 0| = |f(x)| <
epsilon, basta fazermos |x| < epsilon. Neste caso
simples, basta fazer delta = epsilon. Assim, sempre
que meu adversario apresentar um epsilon, eu
simplesmente faco delta = epsilon e ganho todos os
lances. 

Agora, ainda para a funcao f(x) = x, suponhamos que
alguem defenda que lim (x -> 0 ) f(x) = 1. Para
derruba-lo, basta apresntar um valor de epsilon para o
qual ele nao consiga um delta adequado. Logo no
primeiro lance eu apresento epsilon = 0,5. Ora, para
|x| < 0,5, temos |f(x) - 0| = |f(x)| = |x| < 0,5, de
modo que |f(x) -1| = |x -1| > 0,5 = epsilon . Por
menor que seja o delta que meu adversario apresente,
em (- delta, delta) sempre havera valores de x para os
quais  |f(x) - 1| > epsilon, ficando assim derrubada a
hipotese de que lim (x -> 0 ) f(x) = 1. Eu ganho o
jogo logo no primeiro lance.

Por mais complicada que seja a funcao, o chamado
processo epsilon delta de limite eh sempre asim.
Existem outras definicoes de limite, mas no caso de
funcoes de R em R sao sempre equivalentes aa definicao
epsilon delta. Existem ainda limitres quando a
variavel nao tende a um numero real, mas stende a + oo
ou - oo. O tratamento eh similar.

Abracos
Artur


ashington <washingtonn2004@yahoo.com.br> wrote:

> Estou com dificuldade em entender limites. Poderiam
> me dar um conceito mais realista? Tenho um livro de
> cálculo e não me ajudou. Pesquisei na internet e as
> apostilas trazem aquela mesma teoria que os mortais
> não entendem. 
> 
> Conceito de limite(retirado de um site em inglês): 
> "Um função f(z) tem um limite lim(z->a) f (z)=c se
> para todo e>0 que existe um o(um símbolo parecido
> com "o" que não dá pra digitar aqui) >0 de tal forma
> que | f (z) - c| < e quando 0 < | z-a | <
> o(novamente um símbolo parecido com "o" que não dá
> pra digitar aqui) e . Essa definição é chamada às
> vezes de "definição delta ipsilon"." 
> 
> Eu sei o que é uma função. São por exemplo,dois
> diagramas(conjuntos) A e B,com números que se
> associam. Fazer pontos num plano cartesiano eu sei.
> Até aí está claríssimo. Agora,entender o que é uma
> função f(z),é outra história. O que significa? Z é
> um número qualquer? Caso seja,o que significa
> lim(z-> a)? E f (z)=c para todo e>0?? Não sei o que
> é f(z)=c nem e>0. Quem é "e"? 
> 
> Com tantas indagações,podem pensar que não
> estudo,que quero moleza ou qualquer outro pensamento
> similar. Não. Eu estudo,curso ciência da
> computação,tenho livros de cálculo I à
> disposição,mas como eu disse,não me ajudaram em
> nada. Por que? É só pensar bem: se eu não entendo
> nem os conceitos,vou entender o resto? 
> Meu professor é meio soberbo e não se preocupa com
> os alunos. Como posso aprender essas coisas? 
> Usando minhas palavras,a explicação que ele deu foi
> que o cálculo de limite é um cálculo pra achar um
> número próximo,mas nunca igual a outro. Disse também
> que a igualdade é algo muito exigente(claro) e que o
> limite é mais maleável,pois cada vez mais pode-se
> aproximar um número de zero(um número tende a
> outro,mas nunca é igual). Com essas informações,as
> pessoas achariam que sou uma pessoa preparada pra
> resolver questões de limite. Não sou. Diante de uma
> questão como 
> Calcule o limite: 
> lim(x->3) x³-27/x-3 não sei como começar. A cada
> limite dado,de acordo com o que vi ele fazer na
> lousa alguns exemplos,usa outro tipo de fórmula(ou
> teorema) um diferente da outra. (Ele vem ensinando
> isso desde o início de agosto,quando as aulas
> começaram e até agora,ainda não sei resolver limites
> e está começando a passar derivadas. Não estou com
> disposição pra ser reprovado e começo a me
> estressar). 
> No livro de cálculo tem mais de 14 teoremas,sendo
> que,como eu já disse,essas teorias me deixam mais
> confuso do que qualquer outra coisa. 
> Vou explicitar algumas contidas no livro: 
> Teorema de limite 1: 
> se m e b são constantes quaisquer, 
> lim(x->a) (mx+b)=ma+b 
> 
> m e b,entendo como sendo números. Certo,mas em que
> isso me ajuda a entender? 
> Constantes. Que constantes? Números que são sempre
> os mesmos,nunca mudam? 
> 
> Teorema de limite 2: 
> Se C é uma constante,então para qualquer número a, 
> lim(x->a) C=C 
> (fiquei na mesma,ajudou nada) 
> 
> Teorema de limite 3: 
> 
> lim(x->a) x=a 
> (idem(não ajuda) ) 
> 
> Supondo que só existissem esses três teoremas,como
> eu saberia qual deles usar pra resolver esse limite?
> 
> lim(x->3) x³ -27/x-3 
> 
> Existem outras situações que meu prof. diz que
> deve-se resolver fatorando,mas fatorando o quê? Em
> outros,ele diz pra resolver procurando a maior
> potência. 
> Em suma,não tenho problemas mentais. Apenas sou um a
> mais que não entende de limite,mas que quer
> aprender,sendo que,com o que é ensinado,é
> insuficiente. Estou ciente que a matemática se
> baseia em muitas teorias,mas por que não
> simplificar,de modo que pessoas leigas entendam pelo
> menos o caminho a seguir?
> 
> Finalizando,eu tive que expôr toda minha situação
> pra que possam ter idéia do problema. 
> 
> Muito obrigado desde já e agradeço também a
> paciência na leitura.
> 
> Washington
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