RES: [obm-l] Converge?

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho que pela definicao usual de convergencia esta integral não existe. Eh
facil ver que a integral de -1 a 0 eh -oo e que a integral de 0 a 1 eh oo.
Asssim, não existe a integral. Quando se diz que uma integral impropria
diverge, então o que se significa eh que vai para -oo ou oo, que não é o
caso em [1, 1].

A integral de uma f num intervalo [a, b] que tenha por ponto interior um
elemento c no qual haja uma singularidade, eh definida por .que contenha uma
singularidade, como o zero no seu caso, eh definida por Int(a, c) f(x) dx -
Int(c, b) f(x) dx, que existe se e somente se ambas as integrais existirem.
Temos que Int(a, c) f(x) dx = lim (h ->0) Int (a, c-h) f(x) dx e Int(b, c)
f(x) dx = lim (h ->0) Int (c+h, b)) f(x) dx, se estes limites existirem.

Ao dizer que converge para zero em virtude da simetria da funcao, vc na
realidade estah se referindo ao chamado valor principal de Cauchy. Se f eh
definida em um intervalo [a, b] e c esta em (a, b), entao o  valor valor
principal de Cauchy eh defindo por VPC = lim (h -> 0) (Int(a, c-h) f(x) dx +
Int(c+h, b) f(x) dx), desde que este limite exista. Eh facil ver que se a
integral de f existe para todo h em [a, c-h] e em [c+h, b], entao o VPC
existe e indepente de qual ponto c se tenha tomado. No caso de funcoes
impares que satisfacam a esta condicao em intervalos do tipo [-a, a], temos,
como no seu caso, que VPC = 0.

Interessante que a existencia do VPC em [a, b] nao implica a que a integral
convirja ou sequer exista em [a, b]. Mas se a integral convergir, então o
VPC existe e igual-se ao da integral.

Espero ter ajudado e não complicado.

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Bruno Bonagura
Enviada em: terça-feira, 5 de setembro de 2006 12:02
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Converge?


Olá,

Gostaria de saber se a integral definida de dx/x no intervalo [-1, 1] 
diverge ou converge e porque. O livro Stewart, se não me engano o nome é 
esse, diz que a integral diverge. Eu acho que ela converge e é igual a 
zero devido à simetria, mas não tenho o ferramental para provar ou 
disprovar isso. Estou curioso sobre o assunto...

Essa dúvida surgiu de um exemplo do Stewart que calcula integral de 
dx/(x - 1) no intervalo [0, 3]. Eu levantei a possibilidade de 
considerar que a integral nos intervalos [0,1) e (1,2] se anula, assim 
podendo considerar apenas o intervalo [2,3]. Como disse, no livro consta 
que a integral é divergente.

Bruno Bonagura

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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