Re: [obm-l] Primo e divisor

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Nesse caso, eh 240. 
Se p > 5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat).
Alem disso, todo primo >= 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo de 3.
Finalmente os multiplos de 2:
p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4.
Logo, p^4-1 eh multiplo de 16.
Assim, 16*3*5 = 240 divide p^4 - 1.

Agora, 7^4 - 1 = 2400  e 11^4 - 1 = 14640.
Mas mdc(2400,14640) = 240.

Logo, 240 eh o maior inteiro que divide todos os numeros da forma p^4 - 1 com p primo e > 5.

***

Na mesma linha proponho um novo problema:
Qual o maior inteiro N que eh divisivel por todos os inteiros positivos inferiores a raiz(N)?

[]s,
Claudio.
  
---------- Cabe�alho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia: 
Data: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Primo e divisor

> Oi,
> 
> Voc� deve ter raz�o quanto � formula��o mas trivialmente sua solu��o 
> pode ser melhorada para 120 (embora o m�rito seja seu), pois
> 
> p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que � (obviamente) divis�vel por 8 e 
> al�m disso, p-1 ou p+1 � divis�vel por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 
> s�o divis�veis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas tamb�m n�o 
> sei como melhor�-la mais um pouquinho nem pouc�o...
> 
> Abra�os,
> Nehab
> 
> At 12:47 31/8/2006, you wrote:
> >Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
> >mal formulada.
> >
> >Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 
> >e a resposta.
> >
> >Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
> >qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10.
> >
> >p^4-1  = 0 mod 2
> >p^4-1 =  0 mod 5
> >ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
> >vale  a^(p-1) = 1 mod p.
> >
> >Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
> >certamente nao vai ser o maior divisor.
> >
> >
> >>From: its matematico <matematica.italo@yahoo.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
> >>Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT)
> >>
> >>Acho q tenho uma solu��o razo�vel:
> >>
> >>   se p � primo e p>5 ent�o p � �mpar, sendo assim p^4 � �mpar, 
> >> logo p^4-1 � par
> >>   e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 �: (p^4-1)/2
> >>
> >>   Alguma obje��o � resposta???
> >>
> >>   Espero ter contribu�do...
> >>   At� +,
> >>   �talo
> >>
> >>Jo�o Lu�s Gomes Guimar�es <joaoluisbh@uol.com.br> escreveu:
> >>   Se isso fosse uma quest�o de prova, eu responderia que o maior inteiro que
> >>divide p^4 - 1 �...... p^4 - 1 !!!!! e ningu�m poderia colocar obje��o,
> >>hehehehehe... mas � claro, apesar de n�o ter sido explicitado, que a solu��o
> >>procurada exclui o pr�prio p^4 - 1.
> >>
> >>Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solu��o aqui e, se
> >>a encontrar, posto depois.
> >>
> >>Abra�os,
> >>
> >>Jo�o Lu�s.
> >>
> >>
> >>----- Original Message -----
> >>From: "Ricardo Khawge"
> >>To:
> >>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
> >>Subject: [obm-l] Primo e divisor
> >>
> >>
> >> > Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e n�o conseguimos fazer
> >> > um deles. Ele pediu ajuda mas ningu�m se interessou pelo problema, n�o sei
> >> > se � por ser muito f�cil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
> >> > e agradecemos qualquer colabora��o.
> >> >
> >> > "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p � um primo maior que
> >> > 5."
> >> >
> >> > Tchau
> >> >
> >> > _________________________________________________________________
> >> > Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- gr�tis.
> >> > Acesse
> >> > 
> >> http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
> >> >
> >> > =========================================================================
> >> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> > =========================================================================
> >>
> >>
> >>=========================================================================
> >>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>=========================================================================
> >>
> >>
> >>
> >>---------------------------------
> >>  Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. Instale o discador agora!
> >
> >
> >=========================================================================
> >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >=========================================================================
> 
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> 


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================