Re: [obm-l] Introdução a Algebra

["Thiago Lucas" <thcastor@xxxxxxxxx>]

Demonstrar o quê? Que o centralizador de x em G é um subgrupo de G? Se for isso, você tem que provar três coisas:

 

1°) que o elemento neutro de G pertence ao C_g(x);

2°) que para todo "a" e "b" do centralizador, "ab" também pertence ao centralizador e, por último,

3°) que para todo elemento "a" do centralizador, o seu inverso também está em C_g(x).

 

i) se "e" é o elemento neutro de G, então "e" pertence ao centralizador de x. Por quê? Porque e.x=x.e=x, para todo elemento de G, inclusive para x.

 

ii) Agora, sejam "a" e "b" elementos de C_g(x). Isto é, temos que a.x=x.a e b.x=x.b. Queremos provar que (ab)x=x(ab). Como

ax=xa --> (ax).b=(xa).b --> a(xb)=x(ab) --> a(bx)=x(ab) -->

--> (ab)x=x(ab)

 

iii) Por último, se "a" pertence ao centralizador de x, temos que

a.x=x.a --> a'(ax)=a'(xa) --> (a'a)x=(a'x)a --> ex=(a'x)a -->

--> xa'=a'x. Ou seja, o inverso de a (a' ) também está no centralizador de x

 

Por i, ii e iii, provamos que o centralizador de x em G é um subgrupo de G. Espero que tenha sido essa tua dúvida, e espero também não ter cometido nenhum deslize. :)! Existe uma forma equivalente de se provar a condição de ser subgrupo. Dá uma olhada no "Introdução à Álgebra" de Adilson Gonçalves.

 

P.S.: Caso alguém discorde do que eu falei, eu vou saber escutar( ou seria ler?)!

 

Abraços. Thiago.

 

Em 04/09/06, fabbez@zipmail.com.br <fabbez@zipmail.com.br> escreveu:

Favor quem pode me ajudar a demonstrar este exercicio de Algebra Superior.

1EX) Seja G um Grupo com x pertencente a G, o Centralizador de
G(x)={a pertencente G/ax=xa}





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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