[obm-l] polinomio irredutivel

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

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(Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções
geométricas?
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N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois
mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa.
Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números
construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q.
Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar
uma passagem. Depois coloco aqui.

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Retomando o email. O problema (*)

Seja p>=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} +
+ x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q

é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh
e Lang.

A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} =
= x^{p-1}  + x^{p-2} + ... + x + 1

e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} =
=[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x

é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p.

Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico
Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o
problema 1681, An Irreducible Polynomial.

Seja p>=3 um primo. Prove que o polinômio

x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p

é irredutível em Z[x].

Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because
f(+-1) > 0 and f(+-p) > 0, it follows from the rational root theorem
that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem).

Since (usando a mesma idéia do problema (*))

f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} =
\frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} ,

we have

f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} =
x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k ,

where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0<=k<=p-3.

Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é.
Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra
simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café,
continua. Hum....

Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa
a n~ao divide X

Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0<=k<=p-3 , and p^2 \not| a_0 ,  (OK)

it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1)
has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x].

N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como
chegar na conclus~ao do at least?

However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did,
the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible
in Z[x]. (OK, em Q[x] também).

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Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui.
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Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais
curta do que esta?

[]'s
Luis


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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