Re: [obm-l] Questao de Triangulo

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Satisfaz sim! É exatamente o tipo de solução que eu procurava, com retas mágicas e tudo. Maravilha!

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Wed, 23 Aug 2006 16:05:48 -0300 (ART)

Assunto:

Re: [obm-l] Questao de Triangulo

Ola'  pessoal,
essa solucao aqui nao satisfaz pois usa mais de "uma reta magica"...mas ja' quebra um galho!

1) Trace a bissetriz do angulo C ate' encontrar o lado AB no ponto E.
2) Marque o ponto F sobre AC de modo que AD=AF.
Trace os segmentos DF e FE.

Como o angulo do vertice vale 100, entao os angulos da base valem 40 (angulos expressos em graus).
De (1) , podemos dizer que os angulos BCE=ECF=20.
Como BD=AC, entao (2) implica em  FC=AB , pois BD=AC . Portanto FC=BC, de onde os triangulos ECF e ECB sao simetricos. Logo o angulo EFC=100. Assim, os angulos FEC=CEB=60. Portanto, tambem o angulo DEF=60. Mas o triangulo DAF e' isosceles, com angulos da base 20 (pois o angulo FAE=40). Assim, o angulo DFE=20+80=100. 
Portanto, os triangulos EFD e EFC sao simetricos (um lado comum entre 2 angulos iguais). Entao, DF=FC . Portanto o triangulo DCF e' isosceles, com angulos da base iguais a 10 (pois o angulo DFA=20).
Logo, o angulo DCA=10.

Abracos,
Rogerio Ponce


PS: Nehab, voce pode consultar a lista na web, no endereco
 http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.html
O unico detalhe e' que entre a entrega dos emails e a publicacao do mesmo assunto na lista online, ha' um delay de algumas horas.
Abracao,
Rogerio.

Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> escreveu:
> Pois é, Claudio,
>
> Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado.  Mas se você a encontrou, não faça cerimônia...  Adoro aprender..  Caso contrário, fica devendo...
>
> Abraços,
> Nehab 
>
> At 15:08 22/8/2006, you wrote:
> > E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...
> >  
> > []s,
> > Claudio.
> >  
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cópia: 
> > Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300
> > Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo
> > > Oi, Palmerim,
> > > 
> > > Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose 
> > > de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente 
> > > desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao 
> > > naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar 
> > > irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos...
> > > 
> > > Vamos lah:
> > > 
> > > Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei 
> > > dos senos (no triangulo BDC), vem:
> > > (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X)
> > > Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo:
> > > (2) BD / BC = 2.cos 40;
> > > De (1) e (2) temos:
> > > (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao 
> > > trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a 
> > > lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica
> > > 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem:
> > > (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo,
> > > (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X)
> > > Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 
> > > .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos:
> > > 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X)
> > > sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus.
> > > 
> > > Abracos,
> > > Nehab
> > > 
> > > At 16:18 21/8/2006, you wrote:
> > > >
> > > >UFFA! Não consegui resover esta aqui:
> > > >
> > > >"ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 
> > > >100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD 
> > > >seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD."
> > > >
> > > > Palmerim
> > > 
> > agora!