Re:RES: [obm-l] Numeros Irracionais

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

A solucao que eu tinha em mente era essa mesmo e, sim, basta que o coeficiente lider seja positivo.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Tue, 22 Aug 2006 15:56:53 -0300
Assunto: RES: [obm-l] Numeros Irracionais

> Bom, peguei o bonde andando, já vi direto a dica do Cláudio.
> 
> Na base k, o próprio  k eh representado por 0 e 1/k = 0,1. Sendo m grau de
> k, temos que p(n+1) - p(n) eh um polinomio de grau m-1 no qual o coeficiente
> do termo lider é m. Assim, para n suficientemente grande, p(n+1)>0, p(n)>0 e
> p(n+1) - p(n) >0. Além disto p(n+1) - p(n)  eh monotonicamente crescente.
> Issoimplica que, na base k, SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) = R + 0,....1 +
> 0,.....1, sendo que, nos termos fracionarios, a "distância" entre a posição
> do dígito 1 cresce monotonicamente. Desta forma, a representacao do limite L
> da subserie (que existe, pela comparacao com a serie geometrica de razao
> 1/k) dos termos fracionarios eh infinita e nao periodica, o que siginfica
> que L eh irracional. A série original converge entao para R + L, que eh
> irracional.
> 
> Faltou formalizar um pouco melhor, mas acho que a ideia eh essa.
> 
> Uma dúvida: Éh necessario que p seja monico? Nao chegaremos aa mesma
> conclusao se o coeficiente do termo lider for inteiro positivo?
> 
> Abracos
> 
> Artur  
> 
> 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de claudio.buffara
> Enviada em: terça-feira, 22 de agosto de 2006 11:02
> Para: obm-l
> Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
> 
> 
> Por enquanto, aqui vai uma dica: representacao em base k.
> 
> ---------- Cabeçalho original -----------
> 
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Mon, 21 Aug 2006 21:03:18 -0300
> Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
> 
> > Claudio, pensei pensei  e nao consegui solução alguma.
> > Você poderia compartilhar a sua ?
> > 
> > Júnior.
> > 
> > Em 20/08/06, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
> > >
> > > Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa...
> > >
> > > Prove que se k eh um inteiro >= 2 e p(x) um polinomio monico, de
> > > coeficientes inteiros e grau >= 2, entao:
> > > SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional.
> > >
> > > Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh
> irracional,
> > > qualquer que seja k > 1 (k inteiro).
> > >
> > > []s,
> > > Claudio.
> > >
> 
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================