Re:[obm-l] Equacao

Aqui vai uma solu��o razoavelmente feia...

Suponhamos que a equa��o tenha solu��o (x,y).

Como n >= 3, temos que x^n - y^n >= 2^3 - 1^3 = 7 > 4 ==> k >= 3.

2 aparece com o mesmo expoentena decomposi��o de x e y pois, caso contr�rio, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficar�amos com:

2^(k-m) = diferen�a entre um n�mero par e um �mpar ==>

2^(k-m) = 1 necessariamente ==>

k = m ==>

(x/2^m)^n - (y/2^m)^n = 1 ==>

sem solu��o, pois n >= 3 ==>

contradi��o

Assim, podemos supor que x e y s�o ambos �mpares.

x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)) = 2^k ==>

x - y = 2^r com r >= 1, pois x - y � par e positivo

o 2o. termo � uma soma de n parcelas �mpares e igual a 2^(k-r) ==>

n � par

Suponhamos que n = 2^p*b, onde p >= 1 e b � �mpar.

Se b > 1, ent�o, como x^n - y^n � m�ltiplo de

x^(b-1) + x^(b-1)y + ... + xy^(b-2) + y^(b-1) =

soma de um n�mero �mpar de parcelas �mpares =

�mpar (e maior do que 1) ==>

contradi��o, pois isso tamb�m divide 2^(k-r) ==>

b = 1 e, portanto, n = 2^p.

x^(2^p) - y^(2^p) = 2^k ==>

(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^(2^(p-1))+y^(2^(p-1))) = 2^k ==>

x-y = 2^r e x+y = 2^s (1 <= r < s) ==>

x = 2^r*(2^(s-r) + 1) e y = 2^r*(2^(s-r) - 1) ==>

x e y s�o pares ==>

contradi��o

Conclus�o: a equa��o n�o possui solu��es inteiras positivas.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Wed, 2 Aug 2006 19:30:32 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Equacao

Sejam k ,n inteiros positivos com n>2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y).

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