Re:[obm-l] Equacao

Aqui vai uma solução razoavelmente feia...

Suponhamos que a equação tenha solução (x,y).

Como n >= 3, temos que x^n - y^n >= 2^3 - 1^3 = 7 > 4 ==> k >= 3.

2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com:

2^(k-m) = diferença entre um número par e um ímpar ==>

2^(k-m) = 1 necessariamente ==>

k = m ==>

(x/2^m)^n - (y/2^m)^n = 1 ==>

sem solução, pois n >= 3 ==>

contradição

Assim, podemos supor que x e y são ambos ímpares.

x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)) = 2^k ==>

x - y = 2^r com r >= 1, pois x - y é par e positivo

o 2o. termo é uma soma de n parcelas ímpares e igual a 2^(k-r) ==>

n é par

Suponhamos que n = 2^p*b, onde p >= 1 e b é ímpar.

Se b > 1, então, como x^n - y^n é múltiplo de

x^(b-1) + x^(b-1)y + ... + xy^(b-2) + y^(b-1) =

soma de um número ímpar de parcelas ímpares =

ímpar (e maior do que 1) ==>

contradição, pois isso também divide 2^(k-r) ==>

b = 1 e, portanto, n = 2^p.

x^(2^p) - y^(2^p) = 2^k ==>

(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^(2^(p-1))+y^(2^(p-1))) = 2^k ==>

x-y = 2^r e x+y = 2^s (1 <= r < s) ==>

x = 2^r*(2^(s-r) + 1) e y = 2^r*(2^(s-r) - 1) ==>

x e y são pares ==>

contradição

Conclusão: a equação não possui soluções inteiras positivas.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Wed, 2 Aug 2006 19:30:32 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Equacao

Sejam k ,n inteiros positivos com n>2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y).

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