Agradeço sinceramente a ambos os professores: Shine e Pedro.
João.
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Para: obm-l@mat.puc-rio.br
De: "Pedro Cardoso" <pedrolazera@hotmail.com>
Enviado por: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Data: 27/07/2006 12:51
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Segunda Fase, Nível 1, Parte B da XXVII OBM
Problema: Considere tres numeros inteiros positivos consecutivos de tres
algarismos tais que o menor e multiplo de 7, o seguinte e multiplo de 9 e o
maior de 11. Escreva todas as sequencias de numeros que satisfazem essas
propriedades.
É bom adiantar que a solução do Carlos Shine é bem mais eficiente por ser
mais curta, mas eu mesmo assim mando a minha.
Sejam n, n+1 e n+2 os números dessa sequência.
n = 7a; n+1 = 9b; n+2 = 11c
7a+1 = 9b => 9b - 7a = 1. Um par que é solução dessa equação é {4;5}.
Genericamente, a = 5 + 9k; b = 4 + 7k.
(qualquer valor de 'a' gerado por 5+9k gera um múltiplo de 7 cujo sucessor é
múltiplo de 9)
7a+2 = 11c => 11c -7a = 2. Um par que é solução dessa equação é {4;6}.
Genericamente, a = 6 + 11m; b = 4 + 7m.
(qualquer valor de 'a' gerado por 6+11m gera um múltiplo de 7 cujo sucessor
do sucessor (7a+2) é múltiplo de 11)
Daí tiramos que a = 5+9k = 6+11m => 9k - 11m = 1. O par {5;4} é solução, e,
genericamente...
k = 5 + 11j; m = 4 + 7j.
Substituindo k em a = 5+9k, temos a = 5 + 9(5+11j) = 50 + 99j.
Como n = 7a, n = 350 + 693j. A única solução entre 100 e 1000 (ou seja, com
números de três algarismos) é n = 350, pois, para c = 1, temos n = 1043 (e a
sequência seria 1043, 1044, 1045). Então, a única sequência que satisfaz
essa propriedade é 350, 351, 352.
Pedro Lazéra Cardoso
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