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Olá,
f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 4xy
queremos calcular seu mínimo, com a seguinte
condicao: xyz = 32.
pra isso, vms utilizar multiplicadores de lagrange,
entao:
grad f(x,y,z) = lambda * grad(xyz -
32)
(2x + 4y; 8y + 4x; 4z) = lambda * (yz, xz,
xy)
logo, basta resolvermos o seguinte
sistema:
2x + 4y = lambda * yz
8y + 4x = lambda * xz
4z = lambda * xy
xyz = 32
observando a terceira equacao, temos: 4z^2 = lambda
* xyz = lambda * 32, logo: z^2 = 8 * lambda
multiplicando a primeira por 2, temos: 4x + 8y =
2*lambda * yz = lambda * xz ... 2y = x
substituindo na primeira, temos: 2*2y + 4y = lambda
* yz .... 8 = lambda * z ... z = 8 / lambda
assim: z^2 = 8 * lambda = 64/lambda^2 .... lambda^3
= 8 ... lambda = 2
z^2 = 8 * 2 = 16 ... z = 4
4xy = 32 ... xy = 8, mas x = 2y.. logo: 2y^2 = 8
... y^2 = 4... y = 2
4 * 2 * x = 32 ... x = 4
assim, o menor valor de f(x,y,z) se da quando x =
4, y = 2, z = 4...
calculando-o, temos: f(4, 2, 4) = 4^2 + 4*2^2 +
2*4^2 + 4*4*2 = 16 + 16 + 32 + 32 = 32 + 64 = 96...
acho que é isto.. bate com a resposta?
abraços,
Salhab
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