Re:[obm-l] Polinomios

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

> 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. 

x = 1 ==> P(1) = 81P(1) ==> P(1) = 0 ==> P(x) = (x - 1)Q(x)
P(x - 2) = 81P(x/3)
Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:
a_nx^n = 81a_n(x/3)^n ==> n = 4
Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)

P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) ==>
P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d)
 
81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) ==>
81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d)

Igualando coeficientes, teremos:
-6a+b = 3b
12a-4b+c = 9c
-8a+4b-2c+d = 27d ==>

b = -3a
c = 3a
d = -a ==>

P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) ==>
P(x) = a(x - 1)^4
onde a = real qualquer nao-nulo.


[]s,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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