Re: [obm-l] Desigualdade com Pi

[Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx>]

Ola' Claudio e Bernardo,
nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PI
foi tirado da cartola. Como provar que PI vale
3.141592653...?

Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que
1.414 * 1.414 < 2
1.732 * 1.732 < 3
De onde sqrt(2) + sqrt(3) > 3.146 , que 'deve ser
maior que PI' - foi isto que tentei provar quando
tambem resolvi 'fazer na marra'...


Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o
'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou de
pi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n>47,
a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os dois
termos principais do numerador sempre sao uma
diferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com cara
de sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.


Tambem tentei usar alguma integral que o resultado
fosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,
alterando 'conveniente' o integrando, talvez fosse
possivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisa
intermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem nao
consegui.


Entao apelei para a soma dos termos da serie
(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale
(31/30240)*pi^6

Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:
1/1 - 1/64 + 1/729 > (31/30240) * pi^6
de onde, pi < 3.142 .


Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nada
melhor...

[]s,
Rogerio Ponce





--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu:

> Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao
> geometrica ou trigonometrica com um minimo de
> elegancia (com todo o respeito a sua solucao,
> claro!) ...
> 
> A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante
> boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja,
> menos de 0,15%.
> Ao aproximar Pi por excesso por meio do
> semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular
> (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta
> precisao soh eh ultrapassada quando o numero de
> lados eh >= 48.
> Ou seja, 47*tan(Pi/47) > raiz(2) + raiz(3) >
> 48*tan(Pi/48) > Pi.
> Isso talvez signifique que uma demonstracao
> puramente geometrica nao eh muito trivial.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200
> 
> Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade
> com Pi
> 
> > Viva as férias (até que enfim)
> >
> > Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo
> "NA MARRA"):
> > Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):
> > 2 + 2 raiz(6) + 3 > Pi^2 <=> 2 raiz(6) >= Pi^2 - 5
> >
> > E mais uma vez (notar que Pi > 3 => Pi^2 > 9 > 5):
> > 24 > Pi^4 - 10Pi^2 + 25 <=>
> > 0 > Pi^4 - 10 Pi^2 + 1
> >
> > Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...
> > x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) => apenas duas raizes, as
> da raiz positiva do quadrado
> > x^2 = 10 + um pouquinho
> >
> > Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que
> raiz(10) = 3.16.. e pronto:
> > as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e
> portanto o valor em
> > Pi é menor do que zero pois o coeficiente de
> segundo grau é positivo.
> >
> > Uma calculadora dá:
> > sqrt(2) + sqrt(3) - %pi
> > ans = 0.0046717
> >
> > T+,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> >
> > On 7/15/06, claudio.buffara wrote:
> > >
> > > Esse tah me enchendo o saco:
> > >
> > > Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao
> necessariamente distintos)
> > > possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma
> eh divisivel por n.
> > >
> > > ***
> > >
> > > Ha alguns meses alguem mandou pra lista o
> problema de se provar que:
> > > raiz(2) + raiz(3) > Pi.
> > > Foi enviada alguma solucao?
> > >
> > > []s,
> > >
> > > Claudio.


		
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