Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

O de casa dos pombos é bem legal, na verdade.

Na verdade, vou provar algo mais forte: considere um
conjunto A de n números inteiros não divisíveis por n
(possivelmente com elementos repetidos). Então existe
um subconjunto de A cuja soma dos elementos é
divisível por n.

Note que isso prova o problema: se há pelo menos n
múltiplos de n, basta tomá-los; se há menos de n, há
pelo menos n não divisíveis e basta utilizar o
resultado acima.

Provemos por indução que um conjunto de k elementos
inteiros não múltiplos de n tem pelo menos k somas
diferentes módulo n, k <= n.

Para k = 1 o resultado é óbvio. Agora suponha que o
resultado seja válido para k < m <= n e provemos o
resultado para k = m. Seja {a_1,a_2,...,a_{m-1},a} o
conjunto então, com a sendo o 

--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Viva as férias (até que enfim)
> 
> Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo
> "NA MARRA"):
> Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo):
> 2 + 2 raiz(6) + 3 > Pi^2 <=> 2 raiz(6) >= Pi^2 - 5
> 
> E mais uma vez (notar que Pi > 3 => Pi^2 > 9 > 5):
> 24 > Pi^4 - 10Pi^2 + 25 <=>
> 0 > Pi^4 - 10 Pi^2 + 1
> 
> Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ...
> x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) => apenas duas raizes, as
> da raiz positiva do quadrado
> x^2 = 10 + um pouquinho
> 
> Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que
> raiz(10) = 3.16.. e pronto:
> as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e
> portanto o valor em
> Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo
> grau é positivo.
> 
> Uma calculadora dá:
> sqrt(2) + sqrt(3) - %pi
>  ans  =  0.0046717
> 
> T+,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On 7/15/06, claudio.buffara
> <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> >
> > Esse tah me enchendo o saco:
> >
> > Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao
> necessariamente distintos)
> > possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh
> divisivel por n.
> >
> > ***
> >
> > Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema
> de se provar que:
> > raiz(2) + raiz(3) > Pi.
> > Foi enviada alguma solucao?
> >
> > []s,
> >
> > Claudio.
> >
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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