Re: [obm-l] Primeira prova da IMO 2006

["Andr� Ara�jo" <araujoime@xxxxxxxxx>]

1) 1. Seja ABC um tri�ngulo e I o seu incentro. Um ponto
P no interior do tri�ngulo satisfaz <PBA + <PCA = <PBC
+ <PCB. Prove que AP >= AI, com igualdade se, e
somente se, P = I.

<PBA + <PCA = <PBC+ <PCB = K

i) Como I � incentro ent�o, <BIC = 180 - (B+C)/2 = 180 - (180-A)/2 = 90 + A/2.
ii) <BPC = 180 - K
Seja D o encontro de BP com AC.   

iii) <BDC = A +  <PBA
iv) <BPC = <BDC + <PCA = A +  (<PBA + <PCA ) = A + K = 180 - K
2K = 180 - A => K = 90 - A/2

Assim, <BPC = 180 - (90 - A/2) = 90 + A/2 = <BIC.

Logo P pertente a circunfer�ncia ex-inscrita (acho que se chama assim),
de raio r_a, que passa por B, I e C e o centro Oa pertence a reta AI.
Assim,

AP + POa > AOa => AP + r_a > AI + r_a => AP > AI.

A igualdade se dar quando P coincide com I.

Em 12/07/06, Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> escreveu:

Acabei de ver no Mathlinks (http://www.mathlinks.ro/).

Eu mesmo traduzi, espero n�o ter feito nada errado. :)


2. Seja P um pol�gono regular de 2006 lados. Uma
diagonal � chamada "boa" quando suas extremidades
dividem os lados de P em dois conjuntos, cada um com
uma quantiadade �mpar de elementos. Os lados de P
tamb�m s�o considerados bons.

Suponha que P tenha sido dividido em tri�ngulos por
2003 diagonais, sendo que n�o h� duas delas se
cortando em algum ponto interior de P. Encontre a
quantidade m�xima de tri�ngulos is�sceles que tem dois
lados bons que pode aparecer nessa configura��o.

3. Determine o menor real M tal que a desigualdade
    |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)|
<= M(a^2+b^2+c^2)^2
� verdadeira para todos os reais a, b e c.

[]'s
Shine

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