Re: [obm-l] Diferenciabilidade e condicao de Lipschitz

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Alguem pensou nesta demonstracao? Eu encontrei uma um
tanto complicada e  nao muito intuitiva, que me veio
aa cabeca porque na semana passada um colega enviou
uma mensagem sobre um assunto correlato
Gostaria que alguem comentasse esta proposicao.

Sejam I um intervalo aberto de R e f:I->R uma funcao
diferenciavel. Existe, entao, um subintervalo de I no
qual f satisfaz aa condicao de Lipschitz.

Verdadeira ou falsa? Creio que verdadeira. Prova:

Sabemos que uma funcao diferenciavel em um intervalo
eh Lipschitz se, e somente se, f' for limitada neste
intervalo (esta eh uma conhecida conclusao da
Analise). Assim, a proposicao eh equivalente a dizer
que existe um subintervalo J de I na qual f' eh
limitada.
Sabemos, tambem, que toda derivada definida num
intervalo aberto eh o limite de uma sequencia de
funcoes continuas neste intervalo (outro fato
conhecido da Analise). Assim, existe um sequencia
(g_n), de funcoes continuas em I, que converge para
f'.
Intervalos abertos de R sao espacos de Baire
(conhecida conclusao da Topologia e tambem da
Analise). Segundo uma outra conclusao nao muito
difundida e que foi comentada aqui na lista na semana
passada (eh um exercicio do famoso Real and Complex
Analysis, de Walter Rudin), existe entao um intervalo
aberto J, contido em I, no qual (g_n) eh uniformemente
limitada por algum real M>0. Como  f' = lim g_n, temos
entao que |f'(x)| <= M para todo x de J. Concluimos
assim que f' eh limitada em I e que f eh,
consequentemente, Lipschitz em J. 
A proposicao eh, portanto, verdadeira.

Talvez haja uma prova mais direta, do tipo " Seja eps
>0 arbitrariamente escolhido.....", etc. etc; Mas eu
nao achei tal prova. Tive que ficar com esta outra um
tanto sinuosa.

Artur


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