RES: [obm-l] Cj. Cantor

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
1], que eh uma bola em R centrada na origem.

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 3 de julho de 2006 16:55
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Cj. Cantor


On Mon, Jul 03, 2006 at 02:47:32PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o
> cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que 
> ele
> é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U
> [8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
> { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9].

oe x em [2/3,7/9] e y em [2/9,1/3]: x-y pode assumir qualquer valor
entre 2/3-1/3=1/3 e 7/9-2/9=5/9. Assim os números entre 4/6 e 5/9
pertencem a { |x-y| , x e y em K_2 }. Por exemplo, 3/4 em [2/3,7/9],
1/4 em [2/9,1/3] donde 1/2 = 3/4 - 1/4 em { |x-y| , x e y em K_2 }.
Na verdade é fácil verificar que { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1].

> Como K é contido em K_2, {
> |x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \
> [4/9,5/9]. Logo o problema é falso.

O problema está correto. Não vou mandar a solução mas mando uma dica:
escreva os números na base 3.

Aliás, o Gugu, colaborador desta lista, é especialista mundial
em diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor (este problema
é um caso super especial).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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