[obm-l] Re:[obm-l] Re: Convergência de Série

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 28 Jun 2006 19:46:42 -0300
Assunto: [obm-l] Re: Convergência de Série

> Também não sei se tá certo... Mas... =/
> 
> Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) -> L qdo n-> infinito.
> Se L < 1, a série converge.
> 
> Como Soma (n>=1) (a_n)^2 converge, limite de (a_n+1/a_n)^2 quando n
> tende a infinito é menor que 1 -> (a_n+1/a_n) quando n tende a
> infinito é menor que 1
> 

Voce nao pode afirmar isso. O teste da razao dah apenas uma condicao suficiente mas nao necessaria.
Por exemplo, SOMA 1/n diverge e SOMA 1/n^2 converge, mas o limite a(n+1)/a(n) eh 1 nos dois casos.

> Ratio Test no segundo somatório:
> 
> ((a_n+1/n+1) / (a_n/n)) = (a_n+1/a_n) x (n/n+1) que é menor que 1,
> logo a série converge.
> 
> Em 28/06/06, claudio.buffara<claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:
> > Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon,
> > juntamente com a minha solução errada.
> > O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução
> > correta.
> >
> > Seja (a_n) uma sequência de números reais.
> > Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também
> > converge.
> >
> > Solução errada:
> > Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0 então
> > (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.
> > Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==>
> > a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>
> > SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
> > SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
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> 
> -- 
> Aline Oliveira
> 
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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