Oi, hoje o professor de matemática Carlos Yuzo Shine me mostrou uma desigualdade legal que já foi uma questão que alguém perguntou e eu não respondi uma delas, e eh essa que o Shine resolveu depois
lá vai:
Prove que para todos a,b,c reais positivos vale:
1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=<1/(abc)
Temos que a³+b³>=a²b+ab² por rearranjo
-Logo
1/(a³+abc+b³)<=1/(a²b+abc+ab²)=1/(ab)(a+b+c)
Fazendo isto para todos os termos temos:
1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=<1/(a+b+c) * ( 1/(ab) + 1/(ac) + 1/(bc) )= 1/(abc)
C.Q.D.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia
(Stuart)