Vou resolver a segunda questão, já que ela não é díficil( aprimeira ainda não pensei)
> 2)sejam a,b,c reais dados.Prove que :
> a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) >= (a+b+c)/3
Resolução:
Troquemos
a->b
b->c
c->a
Temos uma nova expressão
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)
Vamos subtrair esta nova expressão da antiga e temos:
a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) -
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)=
(a³-b³)/(a²+ab+b²)+(b³-c³)/(b²+bc+c²)+(c³-a³)/(c³+ac+a²)
fatorando temos
(a³-b³) = (a²+ab+b²)(a-b)
logo chegamos em(pois a²+ab+b²<>0) :
a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) -
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)=
(a-b)+(b-c)+(c-a)=0
logo a nova expressão é igual a velha e temos:
que a velha expressão pode ser escrita como a metade da soma das duas
logo temos
a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) =
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²)
MAS COMO
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)>=(a+b)/6 que é fácil de se verificar pois se tornará equivalente a 2(a+b)(a-b)²>=0
temos
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²)>=
(a+b)/6 + (b+c)/6 + (c+a)/6 =(a+b+c)/3
C.Q.D.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia
(Stuart)