[obm-l] RES: [obm-l] Re: maior sigma álgebra

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Muito obrigado pela ajuda!
No caso da sigma-algebra de Borel, acho que de fato eh a maior sigma algebra
sim. Agora, sabemos que sigma-algebra dos conjuntos Lebesgue mensuraveis
inclui a de Borel e contem conjuntos nao Borelianos. 
Eu vou pesquisar o sassunto e tentar ajuda-lo com sites de Mecanica
Estaistica.

Abracos
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de rlalonso@lsi.usp.br
Enviada em: quinta-feira, 15 de junho de 2006 15:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: maior sigma álgebra



>Bom dia

 Bom dia Arthur.
 Não posso resistir em dar meu "pitaco"  :)  
Sua dúvida é bastante específica.
 Eu acredito que iso é verdadeiro para 
conjuntos Boreleanos, isto é que 
 que M é sim a maior sigma álgebra, pois ela é definida
 para todo subconjunto próprio
ou não de X, inclusive o vazio 
(mas seria melhor repassar essa dúvida
para pessoas que estudam teoria de medida e/ou 
mecânica estatística). 

  
http://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory's_theorem_(measure_theory)
 
O teorema de Caratheodory é para phi-medidas (medidas exteriores)
 definidas nas partes de X. Veja a definição no link acima.

   Ele diz que se uma função phi satisfaz phi(A) = phi(A inter E) +
phi(A\E) então os conjuntos A que satisfazem essa propriedade formam
uma sigma-álgebra (se e somente se).
 Mais ainda, se restringirmos phi a esses conjuntos então phi
é uma medida completa.

   Como todo conjunto de Borel A é phi-mensurável (satisfaz  phi(A) = 
phi(A inter E) + Phi (A\E)) então isso seria verdadeiro para todos
os subconjutos de Boreleanos de A que também são boreleanos, daí vc forma
a sigma álgebra M_1 contido em M com eles.  Eu
   acredito que não existe outra sigma ágebra 
 N, composta por subconjuntos boreleanos de A, tal que M seja uma
subcolecao propria de N, já que se M engloba todos os subconjuntos
de A, então englobaria também todas as possíveis 
sigma-ágebras (porque todo subconjunto de qualquer conjunto de A seria 
phi mensurável e portanto poderíamos formar (por Caratheodory) uma
sigma-álgebra com esses subconjuntos).
 
   Finalizando... não sei se tudo isso que disse está certo (preciso
estudar
melhor o assunto) mas pelo menos tentei ajudar.

   Alguém aqui conhece alguma lista de discussão de Mecânica Estatística?
 Estuda o assunto? Andei acessando o orkut em busca de pessoas com quem
colaborar, mas qualquer ajuda de qualquer pessoa é MUITO, repito MUITO
bem vinda.

    Preciso muito de gente para me ajudar ...  
Obrigado à todos !!! (que realmente considero amigos).
[]s

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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