[obm-l] Singularidades e esfera com cabelos.

[<rlalonso@xxxxxxxxxx>]

Olá.

   Alguém perguntou como expressar matemáticamente o seguinte
fato:

 "Não é possível pentear os cabelos de uma bola cabeluda
de forma uniforme".
 
 Esse aí é o famoso "teorema da bola cabeluda".
  "De forma uniforme" significa que cabelos (vetores)
 em uma mesma vizinhança arbitrariamente pequena tem que ter a mesma 
direção.  Os cabelos (vetores) são tangentes às esfera então
matematicamente isso poderia ser espresso como:

"Todo campo vetorial contínuo definido no fibrado 
tangente de uma esfera tem pelo menos uma 
singularidade."

Eu acho que esses artigos/links pode dizer tudo melhor do que eu:

   http://www.math.byu.edu/~jarvis/sperner.pdf
   http://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem
   http://www.daviddarling.info/encyclopedia/H/hairy_ball_theorem.html

Lembrar que o fibrado tangente à uma esfera é uma 
variedade de dimensão 4 que é
obtida pela união de todos os espaços tangentes à pontos da esfera (planos
tangentes).  O  fibrado tangente de uma variedade de dimensão n
tem dimensão 2n.

  Alguém poderia pensar na singularidade como uma pequena
porção da esfera em que os cabelos (vetores) vão se tornando
cada vez menores e finalmente desaparecem em um ponto (o
módulo do vetor tangente a esse ponto é zero).

  Note que mesmo não acontece com o toro :) Por que?  Isso tem a ver
com a característica de Euler da variedade.

  Assim é mais ou menos intuitivo que não é possível ter um campo vetorial

contínuo de vetores tangentes à esfera sem que pelo menos em um ponto 
algum desses vetores tenha módulo zero.  Ou seja em alguma 
vizinhança um desses vetores se anule para que os demais vetores possam
mudar de direção. Esse fato é bastante divertido.

    Como T_p S^2 (espaço tangente ao ponto p da esfera S^2) é isomórfico
à R^2 podemos pensar no campo vetorial como uma aplicação C: S^2 --> R^2.
  
  O teorema diz que essa aplicação é contínua então ela deve ser zero em
algum ponto.  A demonstração usa geometria diferencial.

  Bom... me corrijam se eu disse algo errado ...
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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